Точностные факторы навигационной безопасности плавания и их оценка

1.5. Оценка точности вероятнейшего места, полученного по трем и более навигационным изолиниям

При определении места корабля по трем и более навигационным изолиниям (линиям положения) они, смещаясь под влиянием погрешностей измерения навигационных параметров, в одной точке, как правило, не пересекаются. В этом случае за искомое место  судна принимается вероятнейшее место.

Вероятнейшее  место – это точка, которая при данных условиях измерения (при реализовавшихся погрешностях измерения навигационных параметров) обладает минимальной средней квадратической погрешностью.

С вероятностных позиций, вероятнейшее место среди  массы других точек, в которых возможно местонахождение корабля, является в среднем  наиболее точной точкой. Чем больше навигационных изолиний и чем они точнее, тем ближе вероятнейшее место к истинному месту корабля. Поскольку конкретная величина  реализовавшихся случайных погрешностей неизвестна, то за действительное место  корабля принимается вероятнейшее место.

Вероятнейшее место определяется двумя методами – методом наименьших квадратов, который реализуется с помощью ЭВМ, и графоаналитическими методами, являющимися точными или приближенными аналогами метода наименьших квадратов. Каждому из этих методов присущи свои способы оценки точности.

Сущность автоматизированного определения вероятнейшего места с помощью ЭВМ состоит в нахождении вероятнейших координат корабля jв и lв и их точности методом наименьших квадратов. При этом считается, что погрешности избыточных обсервованных навигационных параметров распределены по нормальному закону.

Основная идея метода наименьших квадратов заключается в том, что неизвестные вероятнейшие поправки к счислимым координатам находятся из условия минимума суммы квадратов случайных отклонений ni («взвешенных» весами pi) навигационных параметров  от их вероятнейшего значения, то есть из условия

                               (1.5.1)

Случайное отклонение vi  i-го обсервованного навигационного параметра от вероятнейшего равно разности левой и правой частей уравнения i-й линии положения

                                 =                             (1.5.2)

В этом выражении аi  и bi – проекции градиента i-го навигационного параметра на координатные оси, Dj и w  – искомые поправки к счислимым координатам jс и lс, li – свободный член уравнения линии положения, равный разности обсервованного и счислимого  навигационных параметров.

Согласно правилу нахождения экстремума функции, условие (1.5.1) выполняется в том случае, если поправки Dj и w находятся из решения системы нормальных уравнений.

Определив отсюда поправки Dj и w и сложив их со счислимыми координатами [формула (1.5.3)], определяются вероятнейшие координаты, соответствующие минимальной (для данных реализовавшихся погрешностей) средней квадратической погрешности:

                   (1.5.3)

где А1, В1, А2, В2 – коэффициенты нормальных уравнений; D =A1B2 – –A2B1 – главный определитель системы нормальных уравнений; L1 и L2 – свободные члены нормальных уравнений.

Формульные выражения коэффициентов и свободных членов нормальных уравнений для случая, когда все навигационные параметры содержат одну повторяющуюся погрешность, приведены в табл. 1.5.1 [12]. Для более общего случая эти величины приведены в табл. 6.16 НМТ.

Так как исходное условие (1.5.1) соответствует минимуму суммы погрешностей, то найденные при этом условии координаты содержат минимальные СКП, то есть являются вероятнейшими.

Элементы среднего квадратического эллипса погрешностей вероятнейшего места вычисляются по формулам, вытекающим из теории метода наименьших квадратов:

            (1.5.4)

Т а б л и ц а 1.5.1

Ориентировка главных осей эллипса относительно меридиана определяется углом a, который вычисляется по формуле

                          (1.5.5)

Если А1 > В2, то рассчитанный по этой формуле угол  a определяет направление малой оси эллипса погрешностей. Если А1 < В2, то угол a определяет направление большой оси.

Радиальная СКП вероятнейшего места вычисляется по формуле

                                        .                              (1.5.6)

Формулы (1.5.3)… (1.5.6) составляют математическую основуалгоритма автоматизированного определения и оценки точности вероятнейшего места.

Необходимые для автоматизированного расчета коэффициентов и свободных членов нормальных уравнений градиенты и их проекции на координатные оси, а также счислимые навигационные параметры вычисляются путем автоматизированного решения обратной геодезической задачи.

В самом общем случае при различной корреляции между погрешностями навигационных параметров математической основой автоматизированного определения и оценки точности вероятнейших координат являются матричные уравнения [15]:

                             (1.5.7)

где X – матрица-столбец искомых поправок к счислимым координатам;

KX – корреляционная матрица вектора X, характеризующая точность определения искомых вероятнейших координат.

Правую часть этих уравнений составляют следующие величины:

A – матрица коэффициентов линий положения («т» – символ транспонирования матрицы),

P – матрица, обратная по отношению к корреляционной матрице навигационных параметров,

L – матрица-столбец свободных членов линий положения,

s1 – СКП единицы веса (определяется по отклонениям обсервованных навигационных параметров от параметров, вычисленных относительно вероятнейшего места корабля).

Входными данными в ЭВМ являются:

– координаты счислимого места судна и координаты навигационных ориентиров, по которым определяется место;

– признак используемой навигационной системы и линейный эквивалент радионавигационных параметров;

– обсервованные навигационные параметры, их средние квадратические погрешности и коэффициенты взаимной корреляции (или корреляционные моменты навигационных параметров).

Обработка взаимозависимых навигационных параметров может также производиться методом наименьшей квадратичной формы [26].

При использовании графоаналитических методов определения вероятнейшего места его точность  целесообразно оценивать только радиальной СКП, так как расчет элементов среднего квадратического эллипса при отсутствии ЭВМ  связан с громоздкими вычислительными операциями, не совместимыми с требованиями быстрой оценки навигационной безопасности плавания.

При отсутствии ЭВМ задача решается графоаналитическим способом. Существует несколько различных графоаналитических способов определения места, каждый из которых приемлем в определенных условиях (см., например, [12, 13]).

Выбор графоаналитического способа зависит от состава погрешностей или от степени взаимной корреляции.

Если навигационные параметры взаимонезависимы (r = 0), то вероятнейшее место в фигуре погрешностей находится или  центрографическим способом, или  (при  трех навигационных параметрах) способом  п а р а л л е л ь н о й  с т о р о н ы [14].

Если навигационные параметры функционально взаимозависимы (r = 1), то вероятнейшее место определяется способом разностных линий положения.

Если навигационные параметры корреляционно взаимозависимы (0 < r < 1), то вероятнейшее место определяется  комбинированным способом.

При определении вероятнейшего места по взаимонезависимым навигационным параметрам его радиальная СКП вычисляется по формуле

                     M =                            (1.5.8)

Под знаком корня в этой формуле: в числителе – сумма весов линий положения, в знаменателе – сумма квазивесов («как бы  весов») точек пересечения линий положения.

Квазивес точки пересечения i и j-й линий положения рассчитывается с помощью выражения

,

где pлпi, pлпj – веса i и j-й линий положения; qij – угол пересечения i и j-й линий положения; S – общее количество точек пересечения.

Если всего n линий положения, то S = n (n — 1) / 2.

При определении места по равноточным линиям положения (по высотам звезд или планет, по расстояниям, измеренным с одинаковой точностью  pлпi = pлпj = pлп = 1 / m2лп) формула (1.5.7) упрощается и преобразуется в следующее выражение:

                             (1.5.9)

Если вероятнейшее место в открытом море определялось по трем линиям положения способом параллельной стороны и при этом СКП линий положения отличаются одна от другой не более чем в полтора раза, то для оценки точности места вместо строгих формул (1.5.8) и (1.5.9) можно использовать приближенную формулу

                                      (1.5.10)

В этой формуле mлпср – среднее арифметическое значение, рассчитанное по СКП линий положения, qср – средний арифметический угол, рассчитанный по острым углам пересечения линий положения.

При определении места по функционально зависимым навигационным параметрам, то есть при пренебрежимо малых частных погрешностях, к которым относятся погрешности измерения и погрешности частных поправок, но при наличии повторяющейся погрешности (погрешности общей поправки) полученное место практически безошибочно. В том случае оценка навигационной безопасности плавания имеет не вероятностный, а детерминированный характер: безопасность плавания обеспечивается при любом положении места корабля, при котором обсервованное место (с учетом габаритов корабля) не соприкасается с навигационной опасностью.

При графоаналитическом методе определения вероятнейшего места по трем равноточным корреляционно взаимозависимым навигационным параметрам радиальная средняя квадратическая погрешность места зависит от углов w1 и w2 между направлениями на ориентиры (или от углов Dt между градиентами навигационных параметров смежных ориентиров) и вычисляется по формуле

                                       М = g mлп,                                      (1.5.11)

где g – коэффициент, определяемый по табл. 1.5.2.

В этой таблице mo – повторяющаяся СКП навигационного параметра, m – частная СКП. От их отношения зависит коэффициент взаимной корреляции, указанный в скобках.

С некоторым приближением этой таблицей можно пользоваться и при неравноточных линиях положения, но при условии, что отношение максимальной СКП линии положения к минимальной не превышает 1,5. В этом случае вместо частных СКП следует пользоваться их средним арифметическим значением.

Т а б л и ц а 1.5.2

Все другие существующие способы оценки точности места по взаимозависимым параметрам, изложенные в навигационных пособиях, имеют приближенный характер. Наиболее простым из них является ориентировочный способ, основанный на использовании формального отождествления выражений для полных линейных (одномерных) и радиальных погрешностей [14], приводящего к следующей приближенной формуле:

,     (r £ 0,8),                (1.5.12)

где М – радиальная СКП, вычисленная по измеренным навигационным параметрам, считая, что они не содержат повторяющейся погрешности.

При предварительных расчетах навигационной безопасности плавания  в прибрежных районах и в открытом море радиальную СКП обсервации допустимо рассчитывать по приближенной формуле

                                (1.5.13)

где n – количество линий положения.

При больших коэффициентах взаимной корреляции (0,4< r < 0,8) вычисленную по этой формуле величину для большей надежности целесообразно разделить на

Методические погрешности приближенных формул (1.5.12), (1.5.13) могут составлять 5 … 35% от их точного значения, вычисленного по строгим формулам метода наименьших квадратов. Поэтому во всех случаях, когда в открытом  море  требуется надежная оценка навигационной безопасности плавания, необходимо использовать эллиптические  погрешности или радиальные погрешности, рассчитанные по формулам метода наименьших квадратов [формулы (1.5.4) … (1.5.7)].

Так как радиальная средняя квадратическая погрешность всегда больше соответствующей эллиптической погрешности, то при использовании радиальной погрешности будет получен перестраховочный результат оценки навигационной безопасности плавания.

Смотрите также

Спасательные устройства подводных лодок

Приложение 7: Лист нарядов

Подводная лодка проекта 665 ("Whiskey Long-Bin")