2.9. Статистический (апостериорный) способ оценки навигационных происшествий
Объективной оценкой навигационной безопасности плавания является вероятность навигационных происшествий, случившихся с кораблями и судами за заданный интервал времени и в определенных навигационно-гидрографических, метеорологических и географических условиях.
Такая оценка определяется на основе обобщения и обработки статистических данных, характеризующих отношение навигационных происшествий к общему количеству кораблей, совершающих плавание в заданном районе и в заданный промежуток времени.
Статистическая вероятность навигационного происшествия
Из теории вероятностей известно [9], что при ограниченном количестве опытов вероятность того или иного события может быть приближенно оценена по частоте появления событий. Поэтому за вероятность навигационных происшествий принимается величина Q, равная
(2.9.1)
где n – количество навигационных аварийных случаев, случившихся в заданном районе плавания (в открытом море, в узкости и т. п.) в течение заданного интервала времени (в течение года, зимнего или летнего периода, ночью, днем и т. п.); N – общее количество судов, плавающих в рассматриваемых условиях в заданный интервал времени.
В некоторых случаях за показатель навигационной безопасности плавания принимают не вероятность навигационных происшествий (аварийных случаев), а количество навигационных происшествий q, приходящихся на одну милю плавания (или на заданное количество миль, например, на 1000 или на 100 миль плавания):
(2.9.2)
где s – заданное количество миль, на которое приходится q навигационных происшествий; S – общее количество пройденных миль всеми кораблями данного типа (класса) за установленный период времени.
Этот показатель эффективен при ограниченном количестве выходов кораблей в море. Но чаще всего навигационную аварийность оценивают по первому показателю, так как оперирование вероятностями позволяет использовать статистические критерии, необходимые при решении некоторых практических задач, связанных с оценками навигационной безопасности плавания.
Степень достоверности формулы (2.9.1) оценивается средней квадратической погрешностью mQ:
(2.9.3)
Отсюда следует, что с увеличением объема статистических данных точность приближенной оценки вероятности навигационных происшествий возрастает.
Решая последнюю формулу относительно N, получим число, определяющее необходимый объем требуемой информации о плавании кораблей. При этом следует задаваться такой величиной Q, которая соответствует реальным ее значениям, полученным по опыту предшествующего плавания кораблей и судов мирового флота (по данным [25], Q = 0,01 … 0,08).
Результаты расчета представлены в табл. 2.9.1.
Т а б л и ц а 2.9.1
| Q | 0,01 | 0,02 | 0,04 | 0,06 | 0,08 |
| N | 909 | 437 | 228 | 141 | 104 |
Анализ этой таблицы показывает, что для получения достоверной вероятности навигационных происшествий требуется достаточно большой объем статистических данных о плавании кораблей в заданных условиях и в заданный период времени.
Поскольку не всегда возможно получить требуемый объем информации за один период времени, статистические данные обобщают за несколько (k) одинаковых периодов и вероятность навигационного происшествия вычисляют по формуле среднего взвешенного с учетом количества плавающих кораблей (данного типа) Ni в каждом
(2.9.4)
где Qi – вероятность навигационных происшествий в
Учитывая, что точность оценки вероятности навигационного происшествия повышается с увеличением объема статистической информации, возникает вопрос о возможности объединения информации о навигационных происшествиях, полученной на кораблях разных типов или разных водоизмещений, для оценки вероятности происшествий на кораблях интересуемого типа (обозначим этот тип символом «К»).
Для решения этого вопроса принимается гипотеза, состоящая в том, что статистика навигационных происшествий одинакова для любого корабля, совершающего морские переходы, вне зависимости от его типа и водоизмещения, то есть расхождение вероятностей Q (вычислена по информации о происшествиях с кораблями всех типов) и QК (вычислена по статистике происшествий с кораблями «К») обусловлено чисто случайными причинами, связанными с ограниченным объемом информации о кораблях типа «К».
Эта гипотеза может быть подтверждена или опровергнута по результатам статистического анализа с помощью статистического критерия [45].
Для этого по формуле (2.9.4) оценивается вероятность навигационного происшествия кораблей различных типов, без учета их типа и водоизмещения и вычисляется полная средняя квадратическая погрешность этой вероятности:
(2.9.5)
где m – средняя квадратическая погрешность, характеризующая случайный разброс числа навигационных происшествий от периода к периоду. Она вычисляется по формуле СКП среднего взвешенного значения:
(2.9.6)
После этого аналогичным образом вычисляются оценки QК и mПК для кораблей интересуемого типа «K» (без учета информации о судах другого типа).
Принятая гипотеза о случайности расхождения вероятностей Q и QК подтверждается (с заданной вероятностью Р), если соблюдается условие
(2.9.7)
где tР1 и tР2 – коэффициенты распределения Стьюдента, соответствующие заданному уровню доверительной вероятности Р. Каждый из них определяется по таблице Приложения 6 по доверительной вероятности Р и по количеству k используемых вероятностей Qi. Модифицированная выписка из этого приложения представлена в виде табл. 2.9.2.
Т а б л и ц а 2.9.2
| P | k | |||||||
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 0,95 0,99 0,999 | 4,30 9,92 31,60 | 3,18 5,84 12,94 | 2,77 4,60 8,61 | 2,57 4,03 6,86 | 2,45 3,71 5,96 | 2,36 3,50 5,40 | 2,31 3,36 5,04 | 2,26 3,25 4,78 |
При подтверждении принятой гипотезы расчет вероятности навигационных происшествий для корабля типа «К» допустимо производить по всей совокупности информации о навигационных происшествиях на кораблях всех типов и любого водоизмещения.
Если гипотеза о случайности расхождения вероятностей Q и QК не подтверждается, то есть условие (2.9.7) не выполняется, то расчет вероятности навигационных происшествий интересуемого типа кораблей следует производить по статистике навигационных аварийных случаев, произошедших только с кораблями этого типа. Надежность полученной оценки в этом случае будет ниже приблизительно в 
раз.
Распределение Стьюдента правомерно применять в предположении нормального распределения величин Qi. Если это не так, то надежность вывода относительно справедливости принятой рассматриваемой гипотезы будет иметь весьма ориентировочный характер.
Степень риска плавания кораблей в различных условия различна. Поэтому вероятность навигационных происшествий целесообразно определять отдельно для плавания в прибрежной зоне, в узкостях, по фарватерам и путям установленного движения, в ночное и дневное время и в штормовых условиях.
Но в этом случае возникает проблема, связанная с незначительным объемом имеющихся статистических данных по плаванию и навигационным происшествиям в каждой из перечисленных градаций. Она может быть решена путем использования обобщенной статистики в масштабе всей страны, а иногда и в международном масштабе.
Если требуется знать вероятность плавания, безопасного от навигационных происшествий, то она вычисляется по формуле Р = 1 – Q.
Статистический прогноз вероятности
навигационного происшествия
При статистическом анализе навигационных происшествий (аварийных случаев) важно выявить их тенденцию.
Систематическое (не случайное) изменение количества навигационных происшествий от одного периода наблюдений к другому (например, от года к году) можно выявить с помощью статистического критерия Аббе (см., например, [6, 12]). Этот критерий представляет собой отношение:
(2.9.8)
где Qi+1 и Qi – вероятности навигационных происшествий, определенные за два последовательных периода; Q – вероятность навигационного происшествия, вычисленная по формуле (2.9.4) на основе объединения данных за k периодов наблюдений.
При плавном систематическом изменении вероятности Q последовательные разности (Qi+1 – Qi), обусловленные только их случайными колебаниями, будут существенно меньше их отклонений от величины Q, так как в них, кроме случайных колебаний входит амплитуда колебания величины Q. Таким образом, знаменатель критерия Аббе оказывается более чувствительным к смещению величины Q, чем числитель, и поэтому отношение А может служить критерием систематического смещения вероятности навигационного происшествия Q.
Нулевая гипотеза состоит в том, что непрерывное систематическое смещение вероятности Q отсутствует, а колебания вероятностей от периода к периоду носят случайный характер.
Для ее проверки вычисленное отношение А сравнивается с его критическим значением АР, соответствующим заданной вероятности Р.
Если А < АР, то гипотеза отвергается – вероятность навигационного происшествия от периода к периоду (от года к году) изменяется неслучайно, существенно. Следовательно, график величины Qi содержит тренд, то есть систематический сдвиг.
Если А > АР, то полученные данные не противоречат выдвинутой гипотезе – систематическое смещение вероятности Q отсутствует (с достоверностью Р). Вероятность навигационных происшествий от периода к периоду (от года к году) остается прежней, а отличие вероятности Qi в i + 1 период от ее значения в i периоде обусловлено случайными факторами.
Критические значения отношения АР приведены в табл. 2.9.3.
Т а б л и ц а 2.9.3
| P | k | |||||||
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 15 | |
| 0,95 0,99 0,999 | 0,39 0,31 0,21 | 0,41 0,27 0,21 | 0,44 0,28 0,18 | 0,47 0,31 0,18 | 0,49 0,33 0,20 | 0,51 0,35 0,22 | 0,53 0,38 0,24 | 0,60 0,46 0,33 |
При наличии тренда (систематического изменения вероятности Q) определяется закон изменения вероятности навигационных происшествий от года к году (от периода к периоду). Этот закон необходим для прогнозирования вероятности навигационных происшествий.
Чтобы определить закономерность изменения вероятностей, строится график Qi = f (T), вид которого изображен на рис. 2.9.1.В большинстве случаев график аппроксимируется прямой линией Qi= = a + bT (на рисунке – пунктирная линия).
При k > 5 параметры a и b этой прямой определяются методом наименьших квадратов по формулам:
(2.9.9)
Суммирование в этих формулах производится по всем значениям i от единицы до k.
Прогноз вероятности навигационного происшествия производится способом экстраполяции аппроксимирующей прямой. Средняя квадратическая погрешность прогноза вероятности рассчитывается по формуле
(2.9.10)
где Qoi – сглаженное значение вероятности навигационного происшествия, соответствующее i периоду.
При k < 5 аппроксимирующая прямая проводится приближенно, на глаз. Формула (2.9.10) для оценки точности прогноза в этом случае оказывается очень ненадежной.
Статистика навигационных происшествий позволяет произвести прогноз не только вероятности навигационного происшествия, но и вероятности количества происшествий n. Поскольку навигационное происшествие является событием редким, то случайность их появления характеризуется законом Пуассона.
Согласно этому закону вероятность появления заданного количества событий описывается выражением [9]:
(2.9.11)
где r – заданное количество навигационных происшествий; no – оценка математического ожидания ежегодного количества навигационных происшествий, равная среднему арифметическому количеству происшествий за один год (или за другой принятый период):
(2.9.12)
Для применения закона (2.9.11) необходимы данные о навигационных происшествиях за несколько лет (k = 5 … 10). При этом общее количество плавающих судов в течение года должно быть примерно одинаковым.
Критерием возможности использования закона Пуассона для прогнозирования навигационных происшествий является приближенное равенство no » D (n), где D (n) – дисперсия количества навигационных происшествий, случившихся за год. Проще всего она вычисляется по формуле размаха (см. главу 1):
(2.9.13)
где nmax и nmin – экстремальные значения количества ежегодных навигационных происшествий.
Пример.
Ежегодная статистика навигационных происшествий в данном объединении представлена следующими данными:
| Порядковый номер года | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Количество навигационных происшествий n | 2 | 1 | 3 | 0 | 1 | 2 | 4 | 1 | 0 | 2 |
Определить вероятность Ро того, что в одиннадцатом (по порядковому счету) году не произойдет ни одного навигационного происшествия, и вероятность Р1 появления одного навигационного происшествия.
Р е ш е н и е:
– по формуле (2.9.12) рассчитывается среднее арифметическое значение навигационных происшествий в каждом году no = 1,6;
– по формуле (2.9.13) вычисляется дисперсия ежегодного количества происшествий D (n) = 1,6 и по сравнению полученных величин no и D (n) (в данном случае эти величины совпали) делается вывод о возможности использования закона распределения Пуассона;
– по формуле (2.9.11) вычисляются искомые вероятности Ро = 0,20, Р1 = 0,32.
Достоинством статистического метода оценки навигационной безопасности плавания является его объективность, связанная с тем, что его показатели опираются на фактические данные о количестве случившихся навигационных происшествий. Этот метод позволяет анализировать состояние безопасности мореплавания в различных условиях и на этой основе совершенствовать навигационно-гидрографическое обеспечение кораблевождения.
Накопление и обобщение статистических данных о навигационных происшествиях производится в штабах объединений и соединений кораблей, а также в вышестоящих флотских штабах.
К недостаткам статистического метода следует отнести его низкую оперативность, связанную с необходимостью накопления достаточно большого объема статистических данных о случившихся навигационных происшествиях. Учитывая, что навигационные происшествия – не система, а случаи, то сбор необходимой для анализа статистической информации производится, как правило, в течение нескольких лет.
Другой недостаток статистического метода состоит в том, что статистика навигационных происшествий учитывает их количество в тех или иных условиях плавания, но при этом она не соотнесена к фиксированным параметрам кораблевождения и поэтому исключает возможность глубокого структурного анализа происшествий с учетом конкретных факторов, обусловивших происшествие на том или ином корабле.
