4.4. Вероятность появления экстремальных погрешностей
Исходными даннымидля анализа степени навигационной безопасности плавания являются точностныехарактеристики навигационных величин – навигационных параметров и координат корабля.При оценке погрешностей этих величин, как правило, исходят из нормальногозакона их распределения. С позиций центральной предельной теоремы теориивероятностей такой подход является вполне обоснованным.
Согласнонормальному закону все погрешности с вероятностью 0,997 укладываются в пределытрех СКП.
В работе [23]изложен закон распределения наибольших или экстремальных величин. Используемего для оценки вероятности наибольших (экстремальных) случайных погрешностей.
Наибольшимипогрешностями в сериях случайных погрешностей считаются такие, абсолютныезначения которых ú±Dm÷ = z превышают модули всех другихпогрешностей данной серии.
Исследованиемустановлено, что совокупность максимальных погрешностей, выбранных из различныхнезависимых серий измерений, подчиняется двойному экспоненциальному закону,функция распределения которого выражается формулой
(4.4.1)
где z – заданноезначение наибольшей погрешности; a и q– параметры распределения: a –нормированное среднее квадратическое отклонение показателя экспоненты; q – модаданного распределения – значение погрешности, обладающей наибольшей плотностьюраспределения.
Вероятностьпоявления погрешности, превышающей заданную наибольшую, вычисляется по формуле
P = 1 – F (z). (4.4.2)
Плотностьраспределения случайных погрешностей, подчиненных двойному экспоненциальномузакону распределения, выражается формулой
(4.4.3)
Кривая плотностираспределения изображена на рис. 4.4.1.
Заштрихованная нарисунке площадь соответствует вероятности появления погрешности, превышающейзаданную величину z.
Для оценкипараметров a и q введем обозначение
y = a (z – q). (4.4.4)
Математическоеожидание этой величины равно
М (y) = aМ (z) – aq.
Отсюда
q = М (z) – М (y) / a.
Приняв за М (z)среднее арифметическое значение модулей наибольших погрешностей, вычисленное понаибольшим выборкам из нескольких серий измерений, – величину 
и обозначив для краткости М (y) =, будем иметь
(4.4.5)
Для оценкивеличины a определим среднееквадратическое отклонение функции (4.4.4): sу= asz,где sz – среднее квадратическоеотклонение наибольшей погрешности z. Отсюда
(4.4.6)
Значения и sу приведены в табл. 4.4.1, входным аргументомкоторой является величина N – количество серий нормально распределенныхнезависимых случайных погрешностей, в каждой из которых определяется однанаибольшая погрешность.
Т а б л и ц а4.4.1
| N |
| sу | N |
| sу | N |
| sу |
| 8 10 12 14 | 0,484 0,495 0,504 0,510 | 0,904 0,950 0,983 1,009 | 16 18 20 25 | 0,516 0,520 0,524 0.531 | 1,032 1,049 1,063 1,092 | 30 35 40 50 | 0,536 0,540 0,544 0,548 | 1,112 1,129 1,141 1,161 |
Таким образом,чтобы воспользоваться формулой (4.4.1) для расчета вероятности невыходапогрешности за пределы заданного наибольшего значения, необходимо иметьстатистическую информацию о погрешностях, полученных в N независимых сериях обычныхизмерений. В каждой серии, состоящей из 25 и более измерений, определяетсянаибольшая по модулю погрешность и по их совокупности вычисляется среднееарифметическое значение наибольшей погрешности и ее среднее квадратическоеотклонение:
(4.4.7)
Периодповторяемости максимальной погрешности, превышающей заданную, рассчитывается поформуле
(4.4.8)
Вычислив величину Т,можно заключить, что в среднем в каждой
Расчеты показывают,что повторяемость экстремальных погрешностей, вычисленная по двойному экспоненциальномузакону, существенно выше повторяемости той же погрешности, найденной понормальному закону распределения.
Пример.
В одинаковыхусловиях было получено 16 серий погрешностей радионавигационного параметра и изкаждой серии выбрана наибольшая по модулю погрешность. С помощью формул (4.4.7)вычислены средняя арифметическая наибольшая погрешность и ее среднееквадратическое отклонение: 
sz =0,6 мкс.
Определитьвероятность того, что погрешность радионавигационного параметра превыситвеличину z = 5 мкс и частоту появления погрешности, превышающей это значение.
Р е ш е н и е:
– из табл. 4.4.1по N = 16 выбираются значения 
= 0,516 и sу=1,032 и по ним с помощью формул (4.4.6) и (4.4.5) вычисляются параметры a = 1,72 и q = 3,7;
– по формуле (4.4.2) с использованием выражения (4.4.1) вычисляется вероятность того, чтонаибольшая погрешность превысит 5 мкс: Р = 0,101;
– по формуле (4.4.8) рассчитывается период повторяемости погрешности, превышающей 5 мкс: Т =9,9 » 10. Это значит, что погрешности,превышающие 5 мкс, будут появляться в среднем один раз в каждой десятой серииизмерений.
Вероятностьпоявления максимальных погрешностей целесообразно учитывать в предварительныхрасчетах навигационной безопасности плавания в условиях, когда требуется вмаксимальной степени уменьшить риск навигационного происшествия.
В процессеплавания учет наибольших погрешностей при оценке навигационной безопасностиплавания может производиться с помощью автоматизированного статистическогомоделирования серий случайных нормально распределенных погрешностей для каждойсредней квадратической погрешности места судна по направлению на опасность. Поэтим данным ЭВМ по заранее введенной в нее программе вычисляет параметрыдвойного экспоненциального закона распределения и оценивает вероятность ипериод появления заданной наибольшей погрешности. За заданную наибольшую погрешностьв этом случае принимается погрешность, равная расстоянию до ближайшейнавигационной опасности.
Вероятностьпоявления наибольших погрешностей или погрешностей, превышающих заданнуюнаибольшую погрешность, важно учитывать при проектировании ширины фарватеров иполос установленного движения. Расчет при этом должен быть ориентирован наточность тех средств навигационного оборудования, которыми будет оборудованрайон плавания с проложенным фарватером.
Особо актуаленвопрос учета наибольших погрешностей при оборудовании фарватеров в районахминной опасности.
Добавить комментарий