Международное регулирование и управление флотом

Приложения

Приложение 1

Таблица функции Лапласа – интеграл вероятностей

(функция нормального распределения)

Приложение 2

Приближенные средние квадратические погрешности навигационных параметров: частные (m), повторяющиеся (mo), полные (mп) и осредненные коэффициенты взаимной корреляции (r)

Приложение 3

Вероятность эллиптической погрешности

Приложение 4

Нормированная радиальная погрешность

и вероятность радиальной погрешности

Приложение 5

Величина М¢ для расчета радиальной средней квадратической погрешности обсервации

по двум независимым навигационным изолиниям

П р и м е ч а н и я: mлп (м) – меньшая погрешность линии положения, mлп (б) – большая погрешность линии положения, радиальная СКП М = М' ´ mлп (б), размерность М соответствует размерности mлп (б).

Приложение 6

Критические нормированные разности tP

(распределение Стьюдента)

Приложение 7

Допустимые радиальные средние квадратические

погрешности места корабля

П р и м е ч а н и е. Расстояние и СКП выражены в одинаковых единицах длины.

Приложение 8

Допустимая линейная СКП места при плавании по фарватеру

(полосе, морскому каналу)

П р и м е ч а н и е. Таблица составлена для условия 0,5F > 3m. Размерность mд  соответствует размерности d' (СКП и расстояния выражены в одинаковых единицах длины).

Приложение 9

Допустимое расстояние до опасной изобаты

(до навигационных опасностей, расположенных с одного борта)

 Dд = D'д + l + d

П р и м е ч а н и е. Расстояния и СКП выражаются в одинаковых единицах длины.

Приложение 10

Допустимое расстояние до ближней кромки фарватера

(полосы, морского канала)

 d = d' + l

П р и м е ч а н и е. Таблица составлена для условия 0,5F > 3m. Расстояние и СКП выражаются в одинаковых единицах длины.

Приложение 11

Допустимое отклонение от оси фарватера

(полосы, морского канала)

  f = (f' ´ F) – l

П р и м е ч а н и е. Таблица составлена для условия 0,5F ³ 3 m. Отклонения и СКП выражены в одинаковых единицах длины.

Приложение 12

Вероятностные модели погрешностей навигационных

измерений и их использование для оценки навигационной

безопасности плавания

При отсутствии промахов и при надежной компенсации (учете) систематических погрешностей результаты любых измерений отягощены случайными погрешностями.

Для их оценки используются вероятностные модели, функции которых выполняют законы распределения случайных погрешностей.

Закон распределения случайных погрешностей определяет вероятность появления фактических погрешностей в тех или иных численных интервалах. С его помощью можно решить две основные задачи: определить вероятность появления погрешности, не выходящей за заданный предел и, наоборот, определить предельное значение погрешности, соответствующее заданной вероятности.

Параметры законов распределения оцениваются статистическим способом по результатам специально выполненных многочисленных измерений.

При оценке навигационной безопасности плавания чаще всего используются три основных модели случайных погрешностей измерения одномерных величин:

– Гауссова модель, основанная на использовании нормального закона распределения;

– Лапласовская модель, основанная на использовании закона распределения Лапласа, называемого иногда двухсторонним экспоненциальным законом;

– модель максимальных (экстремальных) погрешностей, основанная на использовании двойного экспоненциального закона распределения.

Каждая из этих моделей может быть использована лишь при определенных условиях. Критерием выбора того или иного закона является степень адекватности закона фактическому распределению погрешностей различной величины.

Для этого производится специальный эксперимент, в процессе которого в одинаковых условиях производится большая серия измерений одной и той же величины. Затем вычисляются отклонения результатов измерений от истинного (эталонного) или от среднего арифметического значения и по определенной методике (см., например, [45]) вычисляется статистическая вероятность погрешностей, попавших в заданные интервалы. На этом основании делается предварительное суждение о законе распределения. Затем с помощью статистических критериев убеждаются в правильности принятой гипотезы и после этого по полученным данным определяют параметры данного закона распределения.

В некоторых случаях суждение о законе распределения выносится априорно, на основании теоретических положений теории вероятностей.

Рассмотрим сущность первых двух математических моделей и возможность их применения к анализу и оценке навигационной безопасности плавания (третья модель рассмотрена в четвертой главе основного текста книги).

Гауссова модель погрешностей измерения

(нормальный закон распределения)

На процесс измерения навигационных величин влияют множество случайных факторов – колебания внешней среды, параметров измерительного прибора и объекта измерения, несовершенство навыков оператора и т. п. Каждый из этих факторов формирует свою частную составляющую результирующей погрешности измерения. Если среди совокупности влияющих факторов отсутствует резко выделяющийся фактор, то при любом распределении частных погрешностей результирующая погрешность согласно центральной предельной теореме теории вероятностей подчиняется нормальному закону распределения.

Результаты выполненных экспериментов показывают, что погрешности навигационных измерений, как правило, подчиняются нормальному закону. От комплекса условий измерения (вид прибора, характер измеряемой величины, состояние параметров среды и объекта измерения) зависит лишь единственный параметр этого закона — величина средней квадратической погрешности.

Именно поэтому методы оценки точности и навигационной безопасности плавания в большинстве случаев опираются на Гауссову модель случайных погрешностей.

Функция нормального закона распределения случайных погрешностей, определяющая вероятность появления погрешности в пределах от 0 до заданного значения Dз, определяется выражением

            (1-П)

где s – среднее квадратическое значение погрешности (средняя квадратическая погрешность единичного измерения).

Геометрически вероятность изображается заштрихованной площадью, заключенной между кривой плотности нормального распределения (подынтегральной функцией) и осью абсцисс и ограниченной ординатами, проходящими через точки заданной погрешности (рис. 1-П).

Функция (1-П) зависит от двух аргументов – от Dз и s. Для составления таблиц погрешность Dз нормируется, то есть выражается в величинах s

где z – нормированная погрешность.

Выразив формулу (1-П) через нормированную погрешность, получим формулу, которая носит название интеграла вероятностей или функции Лапласа:

             (2-П)

По этой формуле составлена табл. 1-б МТ-75 (табл. 4.7 МТ-96), а также табл. приложения 1 к основному содержанию данной книги.

Последовательность расчета вероятности:

– рассчитывается нормированная погрешность z = Dз / s;

– из таблицы функции Лапласа по аргументу z выбирается искомая вероятность.

Следует иметь в виду, что в некоторых литературных источниках интеграл вероятностей приводится в других вариантах. В некоторых из них вместо коэффициента 2 используется коэффициент 1, в некоторых используются другие пределы интегрирования. Поэтому, для избежания ошибок полезно формуле интеграла вероятностей, представленной в ином, чем формула (2-П), виде, дать графическую интерпретацию, помня при этом, что любой интеграл численно равен площади под кривой подынтегральной функции, ограниченной ординатами, равными пределам интегрирования.

Особенностью Гауссовой модели является следующее.

Поскольку эта модель характеризуется одним параметром – средней квадратической погрешностью s (ее оценочное значение, определенное по результатам измерения в кораблевождении принято обозначать символом m), то с изменением условий измерения необходимо уточнять и используемую СКП. Использование СКП, вычисленной для одних условий, в другом комплексе условий приводит к существенным методическим ошибкам, составляющим в некоторых случаях десятки процентов [18].

При прогнозировании навигационной безопасности плавания перед выходом корабля в море необходимо иметь информацию о СКП в различных ожидаемых условиях плавания. Если такая информация отсутствует, то при предварительной оценке безопасности плавания целесообразно ориентироваться на Лапласовскую модель случайных погрешностей.

При оценке навигационной безопасности плавания непосредственно в море все вероятностные расчеты для каждого участка маршрута должны предваряться оценкой СКП, соответствующей данным конкретным условиям, используя при этом нормальный закон распределения.

Лапласовская модель погрешностей

(закон распределения Лапласа)

В реальных условиях не всегда удается оценить среднюю квадратическую погрешность для каждого комплекса условий. В таких случаях вынужденно используется осредненное для широкого диапазона условий значение СКП. При этом, как сказано выше, допускается методическая погрешность в расчетах вероятности.

Для расчета вероятности погрешностей при прямых навигационных измерениях в условиях неопределенности СКП вместо нормального закона распределения целесообразно пользоваться законом распределения Лапласа (двухсторонним экспоненциальным законом), функция распределения которого зависит не от отдельного значения средней квадратической погрешности, а от ее математического ожидания, то есть от среднего арифметического ее значения.

Известно [28], что плотность распределения случайных погрешностей, подчиняющихся закону распределения Лапласа, описывается каноническим выражением

                               (3-П)

где ÷Dú – модуль случайной погрешности; b – параметр закона.

Выбор параметра зависит от условий, в которых рассматриваются случайные погрешности навигационных величин. Если случайные погрешности имеют нормальную плотность распределения, но их среднее квадратическое значение изменяется, то параметр b равен следующему выражению:

                                        (4-П)

где М (s) – математическое ожидание рандомизированных средних квадратических погрешностей, соответствующих различным условиям измерения навигационных величин.

Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение, рассчитанное по всем СКП, полученным в различных комплексах условий, то есть

                               (5-П)

где n – количество СКП; si – СКП, свойственная i-му комплексу условий.

Проинтегрировав выражение (3-П) и учтя формулу (4-П), получим функцию распределения погрешностей, подчиняющихся закону распределения Лапласа:

                    (6-П)

Поскольку единственным параметром закона распределения Лапласа является математическое ожидание средней квадратической погрешности, то Лапласовская модель погрешностей характеризует как бы осредненную вероятность появления погрешности в заданных пределах, соответствующую широкому комплексу разнородных условий.

В табл. 1-П приведены вероятности появления погрешностей, превышающих заданное нормированное значение zз, вычисленные по нормальному закону и закону распределения Лапласа.

Т а б л и ц а 1-П

Видно, что для нормированных погрешностей z < 1 закон распределения Лапласа приводит к заниженным по сравнению с нормальным законом вероятностям, а для z > 1 — к завышенным.

В отличие от использования Гауссовой модели, которая практически исключает появление нормированных погрешностей z > 3,0, при использовании Лапласовской модели вероятность такого события отличается от нуля. Следовательно, при оперировании большими нормированными погрешностями Лапласовская модель является более осторожной, более настораживающей, чем Гауссова. Однако, как это следует из приведенной таблицы, различие вероятностей для указанных больших z в самом неблагоприятном случае не превышает двух процентов.

Закон распределения Лапласа может служить моделью распределения совокупности неравноточных погрешностей, подчиняющихся в пределах своего узкого комплекса условий нормальному закону. Это означает, что данная модель применима лишь для всей обобщенной совокупности условий, в пределах которых средняя квадратическая погрешность подвержена случайным колебаниям, то есть в тех случаях, когда независимо от фактических условий в расчет принимается одно и то же осредненное значение средней квадратической погрешности.

Осреднение средних квадратических погрешностей при использовании закона распределения Лапласа ведет и к осредненной оценке искомой вероятности и связанных с нею элементов, характеризующих навигационную безопасность плавания. Но любая осредненная оценка должна и применяться только к соответствующим осредненным условиям. Если фактические условия отличаются от осредненных, то Лапласовская модель окажется приближенной. Исследование, выполненное в работе [18], показало, что методическая погрешность при замене фактической СКП ее осредненным значением может доходить до нескольких десятков процентов. Поэтому было бы нелогично и неправомерно использовать закон распределения Лапласа вместо нормального в условиях с надежно известной СКП.

Закон распределения Лапласа может быть использован при расчете осредненных обобщенных оценок при предварительном ориентировочном расчете навигационной безопасности плавания для средних прогностических условий. В море этот закон допустимо использовать только при отсутствии информации о конкретной величине СКП навигационного параметра.

Смотрите также

Приложение 4 (К ст. 55) Определение радиуса мертвой зоны и границ теневых секторов НРЛС

Помиловать!

Боевая служба в мирное время