Существует два метода оценки навигационной безопасности плавания – априорный и апостериорный.
Априорный метод основан на использовании математической модели навигационной безопасности плавания, позволяющей оценить ожидаемую вероятность исключения отказов в системе мореплавания. При этом под системой мореплавания понимается весь комплекс навигационно-гидрографического обеспечения и деятельности штурманской службы корабля.
Апостериорный, или статистический, метод основан на обработке статистических данных, характеризующих навигационные происшествия, случившиеся с кораблями и судам за определенный период прошедшего времени.
В данном разделе последовательно рассматривается сущность обоих методов.
На основе использования априорного метода решаются следующие практические задачи:
– оценка навигационной безопасности плавания конкретного корабля на заданном участке маршрута движения в ожидаемых (прогнозируемых) гидрометеоусловиях;
– количественная оценка допустимых параметров навигационной безопасности плавания, обеспечивающих безопасность корабля с заданной вероятностью;
– разработка обоснованных расчетом рекомендаций по навигационно-гидрографическому обеспечению безопасности плавания и по выбору оптимального (наивыгоднейшего) пути движения корабля, при котором достигается максимальная степень исключения навигационных происшествий и высокая эффективность решения боевых и тактических задач.
Поскольку различные участки маршрута движения корабля отличаются различными навигационно-гидрографическими, географическими и гидрометеорологическими условиями, то оценка навигационной безопасности плавания оценивается отдельно на каждом участке. При этом протяженность каждого отдельного участка зависит от степени однородности указанных условий.
Рассмотрим математическую модель априорной оценки навигационной безопасности плавания.
Вероятность навигационной безопасности на участке маршрута зависит от вероятности плавания, безопасного от посадки корабля на мель или от его выхода за пределы установленной (разрешенной или безопасной) полосы или зоны, и от вероятности плавания, безопасного от столкновения с другими судами (кораблями).
Первая из этих вероятностей зависит от точности и надежности навигации (от навигационно-гидрографического обеспечения и от деятельности штурманской службы корабля), поэтому ее будем обозначать символом Рн, а вероятность плавания, безопасного от столкновения с кораблями и судами, зависящую, главным образом, от качества управления кораблем, будем обозначать символом Ру.
Учитывая, что в подавляющем большинстве случаев события, связанные с посадкой корабля (касанием грунта) и со столкновением кораблей, являются независимыми, можно в самом общем виде написать основу математической модели навигационной безопасности плавания:
РНБП = РнРу. (2.1.1)
Раскроем содержание сомножителей этой формулы.
Вероятность плавания, безопасного от посадки на мель
и от выхода за пределы установленной зоны плавания
Вероятность плавания Рн, безопасного от посадки на мель или от касания грунта на данном участке маршрута движения, зависит от точности и надежности навигации и определяется следующими факторами:
– условиями плавания на данном участке маршрута;
– степенью насыщенности района плавания навигационными опасностями;
– составом и видом средств навигационного оборудования (СНО), имеемых в районе плавания;
– составом и видом морских средств навигации, имеемых на корабле и степенью их готовности к функционированию по прямому назначению;
– точностью решения навигационных задач вахтенным штурманом;
– правильностью и своевременностью принятия решения командиром корабля по назначению или изменению элементов движения корабля;
– надежностью работы движительно-рулевого комплекса корабля.
Принимая во внимание тот факт, что задача обеспечения навигационной безопасности плавания может решаться при использовании информации от различных навигационных систем счисления и систем обсерваций, и учитывая несовместность одновременного появления некоторых вариантов работы морских средств навигации, за обобщенную интегрированную вероятностную модель Рн точности и надежности навигации принимается следующая:
Рн = [РоРсчР1 + Ро (1 – Рсч)Р2 + (1 – Ро)РсчР3 + (1 – Ро)(1 – Рсч)Р4]РрРт. (2.1.2)
В этой формуле каждое слагаемое в квадратных скобках означает
Параметры этой модели прямо или опосредованно учитывают все вышеперечисленные факторы, влияющие на навигационную безопасность плавания, связанную с посадкой корабля на мель или касанием грунта.
Рассмотрим составляющие этой модели.
Вероятность выполнения качественной обсервации Ро.
Обсервация считается качественной, если не содержит грубых ошибок (промахов) при опознании ориентиров, при измерении навигационных параметров и при их обработке.
В самом общем случае, когда отсутствует возможность учесть конкретные районы и условия плавания и, следовательно, невозможно спланировать определенный метод (средство) обсервации, вероятность выполнения качественной обсервации складывается из суммы вероятностей несовместных событий, каждое из которых состоит в том, что обсервация выполняется с помощью одного или нескольких (всех) средств коррекции счисления.
При наличии на корабле n средств обсерваций вероятность Ро вычисляется по обобщенной интегральной формуле
(2.1.3)
где N – количество несовместных вариантов использования средств обсерваций, равное сумме сочетаний из n элементов по (n – k) элементов; j, f = 1, 2, …, n – порядковый номер средства обсерваций
(j ¹ f); k = 0, 1, 2, …, (n – 1) – количество сомножителей (1 – Роf) во втором произведении каждого слагаемого формулы (2.1.3); Роj, Роf – вероятность выполнения качественной обсервации с помощью j (f)-го средства (метода).
Так, например, если на корабле имеется три различных навигационных системы для обсерваций (n = 3), то для этого случая формула (2.1.3) развертывается в следующую сумму:
Ро = Ро1Ро2Ро3 + Ро1Ро2(1 – Ро3) + Ро1Ро3(1 – Ро2) + Ро2Ро3(1 – Ро1) + +Ро1(1 – Ро2)(1 – Ро3) + Ро2 (1 – Ро1) (1 – Ро3) + Ро3 (1 – Ро1) (1 – Ро2).
Каждое слагаемое представляет собой вероятность одного несовместного и независимого варианта использования средств обсервации. Так, в данном ряду третье по счету слагаемое означает вероятность того, что обсервация будет получена по первой и третьей навигационным системам и не получена по второй системе.
Вероятность получения качественной обсервации с помощью любого
Роj = (РпРоб)j. (2.1.4)
Вероятность Рп наблюдения ориентиров или приема сигналов РНС.
При обсервациях по видимым ориентирам величина Рп оценивается по вероятности оправдываемости метеорологического прогноза полной дальности видимости наиболее удаленного от района обсервации ориентира. Эта вероятность определяется или по атласу гидрометеорологических данных, или статистическим способом.
При обсервациях по радиолокационным измерениям вероятность Рп определяется как произведение вероятности оправдываемости прогноза радиолокационной наблюдаемости (РРЛС) и вероятности безотказной работы радиолокатора (РЛС) – величины Р'РЛС.
Вероятность безотказной работы РЛС рассчитывается по общей приближенной формуле [10], справедливой для оценки надежности работы любой технической системы:
(2.1.5)
где l – параметр, характеризующий интенсивность отказов системы (1/ч); t – интервал времени (ч), в течение которого непрерывно используется данная техническая система.
Ориентировочное значение параметра l для современных РЛС (в зависимости от типа РЛС) находится в пределах от 1 / 300 (РЛС типа «Наяда») до 1 / 650 (РЛС типа «Волга», «Дон»,
При определении места по сигналам радионавигационных систем (РНС) вероятность приема сигналов зависит от условий прохождения радиосигналов в атмосфере и от радиопомех различного вида. Эти факторы являются функциями длины волны излучаемого сигнала, его мощности, расстояния между кораблем и наземными станциями, географической широты места корабля, характера подстилающей поверхности, сезона года, времени суток, соотношения напряженности полезного сигнала к напряженности радиопомехи и чувствительности корабельного приемоиндикатора.
Вероятность приема радиосигналов от радионавигационных систем зависит также и от технической надежности корабельного приемоиндикатора. Вероятность его безотказной работы в течение заданного времени t оценивается по формуле (2.1.5), в которой принимается ориентировочное значение l = 1 / 700 [40].
Зависимость вероятности приема сигналов от столь большого количества факторов обусловливает необходимость ее расчета статистическими методами.
Приближенные значения вероятности приема радиосигналов от средств радионавигации характеризуется данными, представленными в табл. 2.1.1.
Т а б л и ц а 2.1.1
| Средство радионавигации | РП |
| Корабельный радиолокатор Радионавигационная система Радиопеленгатор | 0,995 0,980 0,850 |
В работе [33] приводится информация о том, что при использовании некоторых типов приемоиндикаторов только за счет помех от смежных цепей РНС вероятность нормального приема радиосигналов снижается на 20 … 50%.
При использовании космических навигационных систем (КНС) вероятность приема радиосигналов космических аппаратов (искусственных спутников Земли) оценивается данными, приведенными в табл. 2.1.2. В этой таблице ныне неиспользуемые низкоорбитальные КНС приведены для их сравнительной характеристики со среднеорбитальными КНС.
Т а б л и ц а 2.1.2
| Тип КНС | Широта места, градусы | |||
| 0 | 30 | 60 | 90 | |
| Низко-орбитальные | 0,17 | 0,19 | 0,31 | 0,37 |
| Средне-орбитальные | «Глонасс» – 0,79 «Навстар» – 0,995 | |||
При обсервациях по высотам небесных светил с помощью навигационного секстана или астрооптической навигационной системы вероятность наблюдаемости оценивается по прогнозу облачности.
Ориентировочные значения величин Рп при определении места астрономическими способами приведены в табл. 2.1.3.
Т а б л и ц а 2.1.3
| Облачность, баллы | РП |
| 0 … 3 4 … 5 6 … 7 8 … 9 10 | 0,95 0,80 0,60 0,35 0 |
Вероятность Роб измерения и обработки сигналов без промахов.
Измерение или результат обработки измерения содержит грубую ошибку (промах), если их погрешность существенно превышает предельное значение (для вероятности свыше 0,99), свойственное для закона распределения, которому подчиняются погрешности измерения и обработки. Причиной промаха является нарушение условий и правил измерения и обработки.
Среднестатистические вероятности измерения и обработки навигационных параметров без промахов (в процессе выполнения обсервации) приведены в табл. 2.1.4 [40].
Т а б л и ц а 2.1.4
| Способ (средство) обсервации | Роб | Способ (средство) обсервации | Роб |
| Видимые ориентиры Корабельный радиолокатор: – точечные ориентиры – пространств. ориентиры Радиопеленгование: – день – ночь Высоты небесных светил (табличный способ обработки) Астронавигационная система РНС «Омега», РСДН-20 РНС «Брас», РС-10 | 0,95 0,95 0,80 0,90 0,80 0,80 0,97 0,90 0,98 | РНС – поверхностные р/сигналы – пространств. р/сигналы – смешанные радиосигналы: день ночь РНС «Марс-75» РНС «Декка»: – день – ночь Низкоорбитальная КНС Среднеорбитальная КНС | 0,96 0,80 0,75 0,60 0,99 0,98 0,75 0,85 0,99 |
Основным источником промахов при использовании радионавигационных систем является неправильное устранение многозначности.
Вероятность Рсч получения координат корабля с помощью автономных систем счисления.
Счисление пути корабля ведется непрерывно. К тому же на современном корабле, как правило, имеется несколько автономных систем, непрерывно вырабатывающих счислимые координаты. Поэтому практически всегда, за исключением аварийных ситуаций, имеется возможность получить счислимые координаты, точность которых зависит от характеристики используемой системы счисления.
В общем же случае прогнозирование вероятности получения координат корабля на основе счисления его пути вычисляется по формуле суммы вероятностей несовместных независимых событий:
Рсч = РлРИНС + Рл (1 – РИНС) + РИНС (1 – Рл) + (1 – Рл)(1 – РИНС), (2.1.6)
где Рл – вероятность выработки счислимых координат с помощью системы счисления, включающей относительные и (или) абсолютные лаги; РИНС – вероятность выработки счислимых координат с помощью инерциальной навигационной системы.
В нормальном режиме работы навигационного комплекса численные значения величин Рл и РИНС зависят от технической надежности работы автономных систем счисления.
Установлено [47], что интенсивность отказов системы счисления, состоящей из гирокомпаса и лага, характеризуется величиной l = 1 / 25 000. Поэтому вероятность отсутствия сбоя в этой системе счисления за время непрерывной работы t (ч) вычисляется по приближенной формуле
Рл = ехр (– t / 25 000). (2.1.7)
Результат расчета по этой формуле показывает, что при непрерывной работе системы в течение месяца вероятность ее безотказной работы составляет свыше 97%. При непрерывном плавании в течение двух месяцев вероятность Рл = 94,4%. По формуле полной вероятности можно подсчитать вероятность бесперебойной работы системы счисления при ее дублировании. Она окажется равной 0,998 (в течение месяца непрерывной работы).
Примерно такая же надежность и современных инерциальных навигационных систем. Вероятность их нормального функционирования в течение трехмесячной непрерывной работы, приближенно оценивается величиной РИНС = 0,995.
Общий принцип оценки вероятности Р безопасного положения корабля.
Вероятность безопасного положения корабля при любом законе распределения случайных погрешностей в общем случае зависит от соотношения допустимой в данных условиях погрешности в месте корабля и фактической количественной оценкой точности места.
За допустимую погрешность принимается детерминированная величина, равная кратчайшему расстоянию D между кораблем и навигационной опасностью.
Кратчайшее расстояние до навигационной опасности является зоной, безопасной от столкновения с этой опасностью. Поэтому расстояние D определяет предел допустимой безопасной зоны.
В качестве количественной оценки неизвестной случайной погрешности места корабля используется, как правило, средняя квадратическая погрешность по направлению на опасность – величина m. Поэтому вероятность Р безопасного положения корабля на данном участке маршрута движения в общем случае является функцией от этих величин, то есть Р = f (D, m).
При отсутствии погрешностей в месте корабля вероятностная оценка навигационной безопасности плавания теряет смысл: корабль достоверно находится вне опасности до тех пор, пока между ним и навигационной опасностью сохраняется расстояние, не равное нулю.
При наличии же случайной погрешности в месте корабля не всякое расстояние до ненаблюдаемого препятствия является безопасным. Если положение корабля таково, что расстояние до опасности меньше предельной погрешности места, то существует вероятность события, при котором корабль окажется в прямом соприкосновении с навигационной опасностью. При данном расстоянии между местом корабля и навигационной опасностью вероятность этого события зависит от СКП места. Чем больше m, тем больше вероятность навигационного происшествия.
Основным источником погрешностей в месте корабля являются ошибки измерения навигационных параметров или ошибки учитываемых элементов счисления. Известно [9], что ошибки измерений, как случайные величины, могут быть представлены суммой весьма большого количества сравнительно малых слагаемых – элементарных взаимонезависимых погрешностей. Поэтому на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно априори принять, что итоговые случайные погрешности измерения навигационных величин подчиняются нормальному закону распределения. Это положение подкреплено результатами многочисленных научных исследований, выполненных учеными штурманской специальности.
Эллиптическая погрешность, характеризующая вероятностную величину погрешностей места корабля по различным направлениям, является следствием совместного распределения нормально распределенных погрешностей измерения навигационных величин. Эллипс погрешностей позволяет реализовать переход от погрешностей измерения навигационных величин к погрешностям места судна по направлению на навигационную опасность.
Нормальный закон является основным законом распределения погрешностей, с помощью которого в общем случае решается задача оценки вероятности навигационной безопасности плавания. Но в отдельных случаях оценка вероятностей событий, связанных с навигационной безопасностью, может решаться с использованием других законов распределения погрешностей (см. п.4.4 и приложение 12).
Общая схема расчета вероятности безопасного положения корабля на заданном ограниченном участке плавания состоит в следующем:
– оцениваются СКП измерения навигационных величин и по ним определяются параметры среднего квадратического эллипса погрешностей;
– по правилам, изложенным в предыдущей главе, вычисляется СКП места по направлению на навигационную опасность;
– измеряется расстояние от точки, в которой находится вероятнейшее место корабля, до навигационной опасности;
– с помощью закона распределения погрешностей рассчитывается вероятность невыхода действительной погрешности места корабля за пределы безопасной зоны (допустимого расстояния). Эта вероятность и будет количественной оценкой вероятности безопасного положения корабля на том или ином участке маршрута.
В судовождении для оценки точности места в открытом море широко используется радиальная средняя квадратическая погрешность. Эта величина является условно принятым оценочным показателем точности места. Она отличается простотой, но не отражает естественного вероятностного распределения погрешностей места по различным направлениям. Поэтому использование радиальной СКП для оценки безопасности плавания допустимо лишь при ориентировочных расчетах, а также в тех случаях, когда требуется оценить вероятность нахождения действительного места корабля на чистом участке водной поверхности при наличии в районе плавания нескольких навигационных опасностей, расположенных на различных направлениях.
В имеющихся навигационных пособиях вероятность безопасного положения корабля чаще всего отождествляется с вероятностью навигационной безопасности плавания. Такой подход может иметь обоснование только в том случае, если после определения вероятности безопасного положения корабля имеется высокая степень уверенности в безопасности дальнейшего маневра на данном участке плавания и в безотказной работе движителей и рулевого устройства.
Конкретные методы оценки вероятности безопасного положения корабля излагаются в следующих параграфах данной главы.
Вероятность правильной оценки навигационной обстановки и принятия безопасного и своевременного решения по корректуре элементов движения корабля Рр.
Анализ навигационной аварийности [25, 50, 3] свидетельствует, что около 80% навигационных происшествий, связанных с посадкой кораблей на мель или касанием грунта, происходит
Низкий уровень профессионализма отдельных штурманов и отсутствие у них опыта практического решения навигационных задач является существенным фактором, снижающим вероятность безопасного плавания даже при высокой степени автоматизации навигационных систем и средств управления кораблем.
В работе [40] показано, что вероятность объективной оценки обстановки командирами кораблей и принятие на этой основе правильного решения по управлению элементами движения корабля колеблется в пределах от 0,8 до 0,995. Уточненное значение этой вероятности для каждого командира корабля и штурмана определяется по результатам статистического анализа их деятельности, связанной с принятием решений по кораблевождению, а также с учетом особенностей их психологической устойчивости.
При ведении ручной прокладки и при отсутствии автоматизированных систем обработки и анализа навигационной информации вероятность правильного решения составляет Рр = 0,88 … 0,98. При использовании автоматизированных систем навигации и при обработке навигационной информации с помощью специально спрограммированных ЭВМ эта вероятность повышается до 0,99 … 0,995.
Однако эти данные являются осредненными. Каждому командиру свойственен свой уровень подготовленности к управлению кораблем и штурманской службой в сложных навигационных условиях, который, безусловно, должен учитываться при оценке вероятности безопасного плавания.
Расследования навигационных происшествий показывают, что на вероятность принятия правильного решения по кораблевождению существенное влияние оказывает психологический фактор, а также степень ответственности командира и штурмана, их способность объективно оценивать свои возможности в решении задач кораблевождения.
Вероятность безотказной работы техники движительно-рулевого комплекса Рт.
Для современных кораблей вероятность безотказной работы движительно-рулевого технического комплекса составляет Рт = =0,996 … 0,999 [40]. На 333 навигационных происшествия приходится в среднем одно, произошедшее по причине выхода из строя движителей или рулевого устройства.
Вероятность плавания, безопасного от столкновения с кораблями и судами
Несмотря на развитие технических средств наблюдения, аварийность в море, связанная со столкновением кораблей, остается достаточно высокой. По данным страховой организации Ллойда, во второй половине ХХ века ежегодно происходило от 70 до 150 столкновений с различной тяжестью последствий, вплоть до гибели судов.
Основными факторами, влияющими на вероятность столкновения кораблей в море, являются следующие:
– дистанция обнаружения встречного корабля (здесь и далее под встречным кораблем будем понимать любой корабль, независимо от того, идет ли он навстречу или на обгон);
– условия наблюдаемости встречного корабля (состояние видимости);
– точность и быстрота определения элементов движения встречного корабля;
– непрерывность наблюдения за встречным кораблем и контроль за изменением его курса и скорости;
– расположение относительного курса сближения кораблей и относительная скорость сближения;
– правильность оценки ситуации сближения и принятия решения по маневру расхождения, соответствующего рекомендациям Международных правил предупреждения столкновения судов (МППСС).
Основным содержанием анализа ситуации сближения с встречным кораблем является оценка следующих параметров:
– дистанция до встречного корабля и пеленг (курсовой угол) на него;
– курс и скорость встречного корабля;
– характер изменения пеленга и дистанции, сторона изменения пеленга (на нос или на корму);
– направление линии относительного движения (относительно места своего судна);
– прогнозируемое кратчайшее расстояние между кораблями;
– время сближения на кратчайшее расстояние;
– необходимость изменения элементов движения своего корабля для безопасного расхождения.
Поскольку за встречным кораблем всегда ведется визуальное и радиолокационное наблюдение, то его положение относительно своего корабля следует считать известным (с определенной погрешностью, зависящей от точности измерения полярных координат встречного судна – пеленга и дистанции).
Процесс расхождения считается завершенным, если корабли разошлись на кратчайшем расстоянии, не меньшем допустимого.
Поскольку оценка взаимного положения кораблей опирается на информацию со случайными погрешностями, то степень безопасности расхождения приобретает вероятностный характер.
Если измерения полярных координат и определения элементов движения встречного судна практически безошибочны, то процесс оценки его положения относительно своего корабля становится детерминированным и расчет безопасности расхождения производится на основе общих правил морской практики, МППСС и анализа относительного движения кораблей.
Общая модель вероятности исключения столкновения с обнаруженным встречным кораблем, зависящей от правильности управления маневрами корабля, может быть описана одним из следующих обобщенных выражений:
(2.1.8)
где Q – вероятность события, состоящего в том, что кратчайшее расстояние между кораблями при их следовании неизменными курсами будет меньше допустимого; P'p – вероятность принятия правильного решения по управлению маневрами корабля в процессе расхождения; Qвп – вероятность случайного выхода корабля из своей полосы движения и попадания в соседнюю полосу встречного движения.
Первая из этих формул используется при нахождении кораблей в свободной для мореплавания зоне или полосе (фарватере) двухстороннего движения. Вторая формула используется при плавании кораблей в двухполосной зоне установленного движения (по системе с разделением полос движения судов).
Сущность оценки вероятности Q сближения на недопустимо малое расстояние.
Вероятностный характер определения дистанции сближения обусловлен случайными погрешностями определения относительной позиции встречного корабля и погрешностями оценки его элементов движения.
Одним из условий безопасного расхождения с встречным кораблем является условие, при котором обеспечивается кратчайшее расстояние между кораблями, исключающее касание их корпусов, то есть условие, при котором встречный корабль всегда находится за пределами зоны безопасности.
Под зоной безопасности понимается пространство между кораблями, обеспечивающее их безопасное расхождение при следовании неизменными курсами или производство безопасного маневра расхождения.
Для оценки ситуации расхождения необходимо, прежде всего, на основе ведения радиолокационной прокладки спрогнозировать кратчайшее расстояние Dк между кораблями. Оно определяется по отстоянию линии относительного курса Кr встречного корабля К' от позиции своего корабля Мо (рис. 2.1.1) в момент, когда относительный курсовой угол qr = 90o.
Если прогнозируемое кратчайшее расстояние меньше допустимого, то предпринимается заблаговременный маневр для увеличения расстояния.
Если кратчайшее расстояние незначительно превышает допустимое, то в случае невозможности изменения своих курса и скорости автоматизированно вычисляется вероятность Р' безопасного положения корабля в момент максимального сближения, а по ней вероятность Q события, состоящего в том, что кратчайшее расстояние будет меньше допустимого:
Q = 1 – Р' = 1 – Р'(Dк > Dд), (2.1.9)
где Dд – минимально допустимое кратчайшее расстояние между кораблями.
Методика расчета вероятности Р' раскрывается применительно к условиям плавания в следующих параграфах.
Вероятность принятия правильного решения по управлению маневрами корабля в процессе расхождения P'p.
При соблюдении установленных правил мореплавания встречное судно всегда наблюдаемо визуально или с помощью технических средств наблюдения. Поскольку при этом средства наблюдения позволяют обнаружить цель на достаточно большом расстоянии, то вероятность безопасного расхождения в существенной степени зависит от уровня практической подготовленности судоводителя. Качество принимаемых им решений обусловлено его личным опытом управления кораблем, а также умением правильно оценивать обстановку и взвешенно учитывать все факторы, влияющие на безопасность расхождения.
Около 75% столкновений происходит по вине судоводителей [16]. К основным причинам столкновений, происшедших по вине судоводителей, относятся: слабая профессиональная подготовка (43%), самоуверенность (17%), низкая степень ответственности, приводящая к недооценке опасности (40%).
Анализ столкновений отечественных судов и кораблей показывает важность специальной дополнительной подготовки судоводителей по вопросам управления кораблем при расхождении с встречными судами и кораблями. Лишь 27% столкновений допустили судоводители, прошедшие дополнительную подготовку на различных курсах и в учебных заведениях переподготовки, а остальные 73% столкновений падает на суда, судоводителями которых являлись лица, не прошедшие дополнительной подготовки.
Основой подготовки командиров кораблей и вахтенных офицеров к решению задач расхождения с встречным кораблем является изучение МППСС, правил оценки обстановки и способов анализа и расчета безопасного маневра. Немалая роль в исключении столкновений принадлежит и психологической подготовке офицеров, их творческим возможностям и практическому опыту.
Анализ столкновений свидетельствует также, что даже в условиях, когда начальное положение кораблей и их кратчайшее сближение происходит на дистанции, большей безопасной, неправильное решение по выбору маневра расхождения может привести к столкновению.
Величина вероятности Р'р, как и вероятности Рр, определяется экспериментальным способом или по результатам статистического обобщения. По данным [40], для допущенных к управлению судном капитанов величина вероятности принятия правильного решения по назначению безопасных от столкновения курса и скорости колеблется в широких пределах – от 0,8 до 0,995. Можно предположить, что эти цифры справедливы и для командиров кораблей.
Вероятность случайного выхода корабля из своей полосы движения и попадания в соседнюю полосу встречного движения Qвп.
Вероятность попадания корабля в соседнюю полосу встречного движения обусловлена случайными причинами и зависит от ширины установленных полос движения и зоны разделения, а также от величины погрешностей в месте корабля.
Поскольку ширина полосы движения или фарватера, как правило, устанавливается с учетом возможных погрешностей в определении места корабля, то его выход в соседнюю полосу при наличии зоны разделения является событием весьма редким, но, тем не менее, с вероятностной точки зрения вполне возможным. Чем уже полоса установленного движения и чем больше ошибка местоположения корабля, тем больше вероятность его выхода за пределы своей полосы.
Поскольку рассматривается вероятность столкновения с встречным кораблем, перемещающимся по соседней полосе, то при оценке вероятности попадания корабля в полосу встречного движения необходимо исходить из вероятности появления двух несовместных событий: или свой корабль окажется в полосе встречного движения, или корабль, перемещающийся по соседней полосе, окажется в полосе движения нашего корабля.
Поэтому вероятность Qвп нахождения кораблей в полосе встречного движения (или в одной, или в другой) оценивается формулой
Qвп = Q'вп (1 – Q''вп) + Q''вп (1 – Q'вп),
(2.1.10)
где Q'вп – вероятность выхода на полосу встречного движения своего корабля; Q''вп – вероятность попадания в нашу полосу движения встречного корабля.
Расчет вероятностей Qвп (Q'вп и Q''вп) производится одним и тем же способом, изложенным в § 2.8, где рассматривается суммарная вероятность безопасного положения кораблей при расхождении.
2.2. Оценка вероятности нахождения корабля в заданной полосе движения
Вероятность безопасного положения корабля в заданной (установленной) полосе движения или на фарватере зависит от ширины полосы, средней квадратической погрешности места, от размерений и маневренных качеств корабля и от гидрометеорологических факторов, вызывающих снос корабля под действием ветра и течения.
Рассмотрим способ расчета вероятности нахождения корабля с определенными габаритами в пределах неогражденного фарватера. При этом будем исходить из следующих начальных условий:
– случайные линейные погрешности места корабля, направленные по перпендикуляру к оси фарватера и по его оси, подчиняются нормальному закону распределения, а систематические погрешности в оценке места корабля либо отсутствуют, либо учтены заблаговременным вводом поправок;
– ширина фарватера превышает габаритные размеры корабля;
– в качестве приближенной модели плановой формы корпуса корабля будем принимать прямоугольник, описывающий габаритную конфигурацию корабля и имеющий размеры L (длина корабля) и В (ширина корабля);
– геометрический центр плановой площади корабля совпадает с местом штурманской рубки, координаты которой определяются навигационными методами.
Рассмотрим два случая: движение корабля по прямолинейному фарватеру, состоящему из одного колена, и движение по фарватеру, состоящему из двух или нескольких колен.
Вероятность нахождения корабля в пределах фарватера,
состоящего из одного колена
Предположим, что корабль следует по неогражденному фарватеру, состоящему из одного колена. Ширина фарватера равна F (рис. 2.2.1). Линия пути корабля, параллельна направлению оси фарватера. Учитывается суммарный угол сноса – угол с. Отстояния l наиболее удаленных от линии пути габаритных точек корабля А и D при принятом условии одинаковы и равны
l = 0,5В' = 0,5(L sin c + B cos c). (2.2.1)
Величину В' будем называть действующей шириной корабля, а l – действующей полушириной корабля.
Если место штурманской рубки не совпадает с геометрическим центром корабля, то за величину l принимается максимальное отстояние габаритной точки корабля от его линии пути (по перпендикуляру к линии пути).
Точка О, соответствующая обсервованной, или счислимой, точке, в общем случае смещена относительно оси фарватера и находится от ближайшей границы фарватера на расстоянии, равном d. Точность положения точки О характеризуется средним квадратическим эллипсом.
Случайная погрешность в определении места корабля обусловливает случайность его положения относительно границ фарватера.
Допустимыми случайными погрешностями в месте корабля (по перпендикуляру к оси фарватера) являются те, при которых все его габаритные точки, в том числе и наиболее отклоненные от линии пути – точки А и D, остаются в пределах фарватера.
Допустимая максимальная погрешность точки А по направлению к левой кромке фарватера будет та, при которой наиболее близкая к этой кромке габаритная точка D не выйдет за границу фарватера. Такой погрешностью является погрешность D1 = Аa = Da1.
Допустимая максимальная погрешность точки А по направлению к правой кромке фарватера равна ее расстоянию до этой кромки, то есть D2 = Аb.
Искомая вероятность нахождения корабля в пределах фарватера равна вероятности появления максимально допустимых погрешностей D1 и D2.
Приняв за центр распределения линейных случайных погрешностей, действующих в поперечном направлении, точку А, вероятность появления погрешностей, не превышающих допустимых значений D1 и D2, находится с помощью суммы интегралов вероятности
(2.2.2)
Верхними пределами интегралов являются нормированные допустимые погрешности, то есть величины z1 = D1/ m^ и z2 = D2 / m^.
Из рис. 2.2.1 следует: D1 = F – d – l, D2 = d – l. Поэтому z1 = (F – –d – l) / m^ и z2 = (d – l) / m^.
Каждый из интегралов формулы (2.2.2) может быть решен с помощью табулированной функции Лапласа, соответствующей интегралу вероятностей с пределами от 0 до нормированной допустимой погрешности z (в данном случае z1 и z2) и с множителем перед знаком интеграла 
(см. приложение 1, а также табл. 1-б МТ-75 или табл. 4.7 НМТ).
При использовании этих таблиц формула (2.2.2) принимает вид
(2.2.3)
Формулы (2.2.2) и (2.2.3) выражают вероятность нахождения корабля в пределах ширины фарватера, обусловленную случайной погрешностью в счислимом или обсервованном месте корабля (в точке О) по направлению перпендикуляра к оси фарватера. Формулу (2.2.2) целесообразно использовать при автоматизированных расчетах навигационной безопасности плавания, а формулу (2.2.3) – при ручных расчетах с помощью таблиц функций Лапласа.
Пример.
Ширина неогражденного фарватера одностороннего движения F = 4 каб. Обсервованное место в 1,0 каб от ближайшей границы фарватера. Линейная СКП места по направлению перпендикуляра к фарватеру m^ = 1 каб.
Определить вероятность нахождения корпуса корабля в пределах фарватера, если линейные размеры корабля L = 250 м, В = 40 м, а суммарный угол сноса течением, ветром и волнением (рыскание) с = 15о.
Р е ш е н и е:
– по формуле (2.2.1) рассчитывается действующая полуширина корабля: l=0,5 (250 sin15o + 40 cos15o) = 51,7 м = 0,28 каб;
– по формуле (2.2.3), решаемой с помощью таблицы функций Лапласа (приложение 1, табл. 1-б МТ-75 или 4.7 НМТ), получаем искомую вероятность Р = =0,5 (0,993 + 0,528) = 0,760.
Если в данном примере не учитывать габариты корабля и угол его сноса, то есть принять l = 0, то вероятность невыхода корабля за пределы фарватера была бы на 8% выше. Но эта вероятность соответствовала бы не реальному кораблю с его габаритами, а безразмерной точке.
На рис. 2.2.2 приведены графики вероятности невыхода корпуса корабля за пределы фарватера, вычисленные для различных величин d и l, выраженных в длинах ширины фарватера. За линейную СКП принята величина m^ = 0,1F.
Анализ этих графиков и формул (2.2.2) и (2.2.3) приводит к следующим выводам.
1. Вероятность нахождения корпуса корабля в пределах фарватера при наличии случайных погрешностей в его месте в существенной степени зависит от величины выдвига габаритов корабля за линию пути – от численного значения l. Чем больше эта величина, тем выше риск выхода габаритных точек корабля за пределы фарватера. При заданных длине (L) и ширине (В) корабля максимальное значение l будет при угле сноса с = 90о: l = 0,5L, но такая ситуация (дрейф корабля без хода) в реальных условиях плавания по фарватеру маловероятна. Минимальное значение l = 0,5В наблюдается при отсутствии сноса корабля (угол с = 0). В этом случае вероятность невыхода корабля за пределы фарватера увеличивается до максимального значения (при данных F и m^).
2. При одной и той же величине l более существенное уменьшение вероятности невыхода корабля за пределы фарватера наблюдается при малых значениях d, то есть чем ближе геометрический центр корабля к кромке фарватера, тем сильнее влияние его габаритов на уменьшение вероятности Р. Так, например, учет l = 0,1F при d = 0,1F уменьшает вероятность с 0,84 до 0,50 (на 0,34), а при d = =0,3F - с 0,9985 до 0,997, то есть всего на 0,0015.
3. При l ³ 0,5F (действующая полуширина корабля равна или превышает полуширину фар ватера) при любых погрешностях часть корпуса корабля окажется за пределами фарватера. Это значит, что вероятность нахождения всего корпуса корабля внутри фарватера равна нулю.
Это подтверждается и с формальных позиций. При l ³ 0,5F допустимые погрешности D1 и D2 принимают следующие значения: D1 = 0,5F – d, D2 = d – 0,5F. При этом, если 0,5F = d, то обе допустимые погрешности обращаются в ноль и, следовательно, формула (2.2.2) даст нулевой результат; если 0,5F > d, то допустимая погрешность D1 будет иметь знак «плюс», а равная ей по модулю погрешность D2 – знак «минус». Функции Лапласа в квадратных скобках формулы (2.2.2) взаимно компенсируются и вероятность Р обращается в ноль.
4. По мере приближения геометрического центра корабля (точки О) к одной из границ фарватера, то есть с уменьшением величины d вероятность невыхода судна за пределы фарватера уменьшается. При d = 0 (корабль на кромке фарватера) допустимая погрешность D1 уменьшается до величины F – l, а вторая допустимая погрешность D2 становится величиной отрицательной (D2 = – l). В результате уменьшается первое слагаемое в квадратных скобках формулы (2.2.3), а второе слагаемое вычитается из первого, что и приводит к уменьшению итоговой вероятности Р, которая в таких случаях всегда меньше 0,5.
5. При d = l точка А (или D) находится на кромке фарватера, вероятность нахождения корпуса корабля внутри фарватера зависит от соотношения F и m^ и составляет величины Р £ 0,5.
6. При d = 0,5F (геометрический центр корабля – точка О – находится на оси фарватера) допустимые максимальные погрешности одинаковы и равны D1 = D2 = 0,5F – l. Формула (2.2.3) в этом случае принимает вид
(2.2.4)
Поскольку искусственные фарватеры и каналы проектируются с соблюдением условия 0,5F ³ 3,2mmax (mmax – максимальная линейная СКП места при плавании в районе фарватера), то при выполнении этого условия вероятность Р зависит от соотношения l / m^.
В табл. 2.2.1 представлены отношения l / m, обеспечивающие (при данном F / m) невыход корабля за пределы фарватера с вероятностью Р = 0,999. Иными словами, в таблице приведены значения l / m^, при которых, следуя посередине фарватера (односторонней полосы движения), можно пренебречь габаритами корабля при любом угле сноса, не снижая при этом практически стопроцентной вероятности нахождения корабля в пределах фарватера.
Если отношение ширины фарватера к линейной СКП места меньше 6,6, то при любом, не равном нулю, численном значении величины l / m^ (при следовании корабля по оси фарватера) вероятности Р будут меньше 0,999. При этом, чем больше отношение l / m^, тем меньше вероятность Р. Так, например, если F / m^ = 4, то при l / m^= = 0,2 вероятность равна Р = 0,928, а при l / m^ = 0,8 она уменьшается до значения Р = 0,770.
Т а б л и ц а 2.2.1
| F / m^ | 7 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 24 | 28 | 32 | 40 |
| l / m^ | 0,2 | 0,8 | 1,8 | 2,8 | 3,8 | 4,8 | 5,8 | 6,8 | 8,8 | 10,8 | 12,8 | 16,8 |
При предварительной оценке навигационной безопасности плавания по фарватеру вероятность рассчитывается по обобщенной априорной вероятностной модели, изложенной в предыдущем параграфе. При этом в расчет принимаются прогнозируемые величины линейных СКП обсерваций и счислимых мест на различных участках, а также возможные (по ожидаемым гидрометеоусловиям) углы сноса.
Вероятность нахождения корабля в пределах фарватера рассчитывается для каждого однородного участка плавания. При предварительных расчетах следует предусматривать возможные отклонения геометрического центра корабля от оси фарватера и вычисления производить для величин d = (0,3 … 0,4)F. При этом важно учитывать уменьшение вероятности при выполнении возможного маневра по выводу корабля на ось фарватера, обусловленное дрейфом корабля на циркуляции.
Иногда границы (кромки) фарватера известны с некоторыми случайными погрешностями, обусловленными неточностью координирования работ при оборудовании фарватера. В этих случаях оценка вероятности нахождения корабля в пределах известных границ фарватера производится также по формуле (2.2.3), но с учетом не только погрешностей места корабля, но и погрешностей кромок фарватера. Основные положения обоснования способа учета погрешностей кромок фарватера опираются на теорию композиции, изложенную в теории вероятностей [9].
Если погрешности границ фарватера подчиняются нормальному закону, то на основании теории композиции нормальных законов суммарная погрешность, составляющими которой являются погрешность местоположения корабля и погрешности кромок фарватера, подчиняется также нормальному закону.
При отсутствии систематических погрешностей суммарное математическое ожидание этого закона равно нулю, а среднее квадратическое значение суммарной погрешности mS вычисляется по формуле
(2.2.5)
где mk1 и mk2 – средние квадратические погрешности кромок фарватера; r – коэффициент корреляции погрешностей кромок.
Неучет погрешностей кромок фарватера изменяет вероятность нахождения корабля в поперечных границах фарватера, то есть вносит методическую ошибку в рассчитанную оценку вероятности. При этом вероятность безопасности, рассчитанная без учета погрешностей кромок фарватера, всегда будет больше действительной и, следовательно, неоправданно оптимистичной.
Для определения величины изменения вероятности DР нахождения корабля в пределах ширины фарватера при неучете погрешностей положения кромок фарватера возьмем производную от вероятности Р [формула (2.2.3)] по среднему квадратическому значению погрешности – dP / dm (m = m^). Поскольку такая производная означает изменение вероятности при изменении средней квадратической погрешности на одну единицу длины, то приращение вероятности DР при изменении среднего квадратического значения на величину Dm = (m – mS), будет выражаться формулой:
(2.2.6)
где Ф1 и Ф2 – функции Лапласа (интегралы вероятностей), стоящие в квадратных скобках формулы (2.2.3).
Производные dФ1 / dm и dФ2 / dm в раскрытом виде равны:
(2.2.7)
Подставив эти производные в формулу (2.2.6), получим выражение для расчета изменения вероятности при неучете погрешностей положения кромок фарватера.
Поскольку формула (2.2.6), строго говоря, справедлива при бесконечно малом приращении средней квадратической погрешности, то для повышения точности расчета производные (2.2.7) вычисляются для осредненного значения mср = 0,5(m + mS).
Пример.
Ширина фарватера F = 2 каб. Отстояние корабля от кромки фарватера d = =0,2 каб. Действующая полуширина корабля (с учетом его разворота относительно линии пути под воздействием сноса) l = 0,15 каб. Средняя квадратическая погрешность места корабля m^ = 0,3 каб, средние квадратические погрешности кромок фарватера mk1 = mk2 = mk = 0,3 каб.
Определить методическую ошибку при расчете вероятности нахождения корабля в границах фарватера без учета погрешностей положения кромок фарватера.
Р е ш е н и е:
– по формулам (2.2.7) с учетом mср = 0,41 каб вычисляются производные dФ1 / dm = – 0,0012 и dФ2 / dm = – 0,1178;
– по формуле (2.2.6) с учетом Dm = – 0,22 каб рассчитывается искомый результат DР = 2,6%.
Задачу изменения вероятности при изменении СКП можно решить также с помощью таблиц функции Лапласа, сравнив вероятности, полученные для рассматриваемых СКП.
Вероятность безопасного входа на очередное колено фарватера
При плавании по фарватеру, состоящему из двух или нескольких колен, корабль, совершая повороты с одного колена на другое, должен оставаться в пределах границ фарватера. При некоторых погрешностях в месте корабля, выходящих за пределы области пересечения границ первого (предповоротного) и второго (очередного) колен фарватера (на рис. 2.2.3 заштрихованная площадь D), может возникнуть опасность выхода корабля за пределы границ новой полосы движения. Отсюда следует, что при повороте необходимо учитывать возможные погрешности в месте корабля, направленные не только перпендикулярно оси данного колена фарватера, но и погрешности, направленные по перпендикуляру к оси очередного колена.
Если случайные погрешности подчинены нормальному закону распределения, то, выражая его в каноническом виде, можно определить следующее выражение для вероятности нахождения точки поворота в области D:
(2.2.8)
где а и b – средние квадратические погрешности места по направлению главных осей (значения главных полуосей среднеквадратического эллипса погрешностей).
В общем случае данный двухмерный интеграл аналитически точно не вычисляется и не выражается через элементарные или табличные функции. Даже при использовании ЭВМ перед оператором-практиком возникает непростая задача определения пределов интегрирования, соответствующих области пересечения D.
Выражение величины Р через совокупность известных интегралов вероятностей (через функции Лапласа) достижимо только при независимых случайных погрешностях, направленных по перпендикулярам к осям первого и второго колен фарватера.
В этом случае, то есть при независимых поперечных (по отношению к осям первого и второго колен фарватера) погрешностях, вероятность Р того, что точка поворота корабля на новый курс находится в области D, вычисляется по формуле произведения вероятностей нахождения корабля и в пределах первого колена фарватера (Р1), и в пределах второго колена (Р2):
Р = Р1Р2. (2.2.9)
Для оценки вероятностей Р1 и Р2 рассмотрим следующую типовую ситуацию (рис. 2.2.4).
Пусть корабль следует по первому колену фарватера в расстоянии d1 от внутренней его границы (по отношению к стороне предстоящего поворота). В точке О по результатам навигационной прокладки планируется поворот на новое очередное колено фарватера с таким расчетом, чтобы после поворота на угол a корабль, описав циркуляцию, оказался в точке О1 на удалении d2 от его внутренней границы. Ширина первого колена фарватера (первой полосы) – F1, ширина второго колена (второй полосы) – F2.
Отстояния пунктирных линий от границ фарватера – величины l1 и l2 – действующая полуширина корабля на первом и втором коленах фарватера соответственно. При отсутствии сноса, то есть в ситуации, изображенной на рисунке, l1 и l2 одинаковы и равны полуширине корабля. Если геометрический центр корабля не выходит за пределы этих линий, то весь корпус корабля будет находиться в пределах границ фарватера. При наличии сноса корабля величины l вычисляются по формуле (2.2.1).
Если место корабля в момент поворота содержит погрешность, то после циркуляции корабль окажется не в точке О1,
kО = R tg (a / 2).
Смещение зоны пересечения полос фарватера обеспечивает невыход точки конца поворота корабля за пределы границ фарватера при нахождении точки начала поворота в любом месте заштрихованной области D.
Корабль будет находиться в границах первого колена фарватера, если погрешности его местоположения по направлению Z, перпендикулярному оси первого колена, не выйдут за допустимые пределы Dz' и D z''. При этом
Dz' = F1 – d1 – l1, Dz'' = d1 – l1. (2.2.10)
Вероятность того, что корабль в предповоротный момент находится в пределах первого колена фарватера, равна вероятности события, состоящего в том, что действительные погрешности места по направлению Z не превысят допустимых Dz' и Dz''. Эта вероятность рассчитывается с помощью интеграла вероятностей по одной из следующих формул.
При использовании таблиц функций Лапласа (приложение 1, табл. 1-б МТ-75 или табл. 4.7 НМТ) вероятность Р1 равна
(2.2.11)
где Dz' и Dz'' – допустимые погрешности, определяемые формулами (2.2.10); mz – средняя квадратическая погрешность места корабля по направлению оси Z. Она вычисляется как
(2.2.12)
где a и b – главные полуоси среднего квадратического эллипса погрешностей.
При использовании компьютера вероятность Р1 вычисляется автоматизированным решением формулы (2.2.2), в которой
z1 = (F1 – d1 – l1) / mz; z2 = (d1 – l1) / mz.
Корабль после поворота будет находиться в границах второго колена фарватера, если погрешности его местоположения по направлению H, перпендикулярному оси второго колена, не выйдут за допустимые пределы dh' и dh''. При этом
dh = F2 – d2 – l2, dh'' = d2 – l2. (2.2.13)
Вероятность того, что точка поворота находится в пределах второго колена фарватера, равна вероятности события, состоящего в том, что действительные погрешности места по направлению H не превысят допустимых dh' и dh''. Эта вероятность рассчитывается с помощью интеграла вероятностей по одной из следующих формул.
При использовании таблиц функций Лапласа
(2.2.14)
где d'h и d''h – допустимые погрешности, определяемые формулами (2.2.13); mh – средняя квадратическая погрешность места корабля по направлению оси H. Она вычисляется как
Так как направление H составляет с направлением X, определяющим направление большой главной оси эллипса, угол b то в соответствии с формулой (1.7.1) величина mh определяется выражением
(2.2.15)
При использовании компьютера вероятность Р2 вычисляется автоматизированным решением формулы (2.2.2), в которой
z1 = (F2 – d2 – l2) / mh; z2 = (d2 – l2) / mh.
Подставив формулы (2.2.11) и (2.2.14) в выражение (2.2.9) с учетом равенств (2.2.10) и (2.2.13), получим формулу вероятности невыхода корабля за пределы фарватера во время его поворота с одного колена на другое:
При зависимых погрешностях D и d эта формула непригодна.
Из анализа отдельных положений работ по теории вероятностей [9, 11] можно сделать выводы, что случайные погрешности Dz и dh независимы в следующих двух случаях.
Первый случай – если поворот совершается на угол a = 90о (область D является прямоугольником) и при этом стороны области пересечения полос фарватера параллельны главным осям эллипса погрешностей.
Это условие соблюдается при предповоротной обсервации, выполненной по двум взаимонезависимым навигационным изолиниям, направления которых практически совпадают с направлениями первого и второго колен фарватера.
При круговом рассеивании погрешностей (a = b) каждая из осей, проходящих через центр рассеивания, совпадающий с местом корабля, может быть принята за главную ось. Если за главные оси принимаются те, которые совпадают с направлением границ обеих полос фарватера, то интересуемые нас погрешности, перпендикулярные границам фарватера, будут независимыми.
Рассеивание погрешностей обсерваций приближенно круговое, если место получено по двум независимым равноточным линиям положения, пересекающимся под острым углом q > 75o, или по трем независимым равноточным линиям положения с острыми углами пересечения, превышающими 50о [20].
Второй случай – если соблюдается вполне определенное соотношение главных полуосей среднего квадратического эллипса погрешностей. Это соотношение выводится из условия, при котором корреляционный момент погрешностей Dz и dh равняется нулю.
Для вывода формулы, определяющей корреляционный момент, выразим погрешности Dz и dh через погрешности Dx и Dy, направленные по главным осям эллипса погрешностей:
Dz = Dx cos g + Dy sin g; dh = Dx cos b + Dy sin b. (2.2.17)
В курсе теории погрешностей показано (см., например, [12]), что при отсутствии систематических погрешностей корреляционный момент определяется выражением КDzdh = М (Dz dh). Здесь М – символ математического ожидания. Подставляя сюда значения Dz и dh, определяемые формулами (2.2.17), применяя к их произведению оператор математического ожидания и учитывая, что М (Dx2) = mx2, М (Dy2) = mу2, М (Dx Dy) = КDxDy = 0, получим:
КDz dh = a2cos g cos b + b2 sin g sin b.
Приравнивая это выражение нулю, получим условие, при котором погрешности по осям Z и H независимы:
b2 / a2 = – ctg g ctg b. (2.2.18)
Рассмотренные условия независимости являются весьма редкими частными случаями. Поэтому в общем случае при зависимых погрешностях, то есть когда направления границ фарватеров не совпадают с главными осями эллипса погрешностей, для оценки навигационной безопасности плавания используется следующий приближенный прием.
Область пересечения полос фарватера делится линиями, параллельными главным осям эллипса погрешностей, на элементарно малые прямоугольники. Поскольку границы этих прямоугольников окажутся параллельными главным осям эллипса, то погрешности, перпендикулярные сторонам элементарных участков, являются независимыми. Вероятность нахождения места корабля на каждом из этих прямоугольных участков вычисляется по формуле (2.2.16). Итоговая вероятность нахождения точки поворота в пределах фарватера определяется путем суммирования вероятностей попадания в каждый из прямоугольных участков области пересечения D. Этот прием весьма трудоемок и поэтому для практических целей малопригоден.
Задача оценки вероятности выхода корабля на второе (очередное) колено фарватера существенно упрощается, если ее решать при условии нахождения корабля в границах первого колена.
Обозначив событие нахождения корабля на первом колене фарватера S1, событие нахождения на втором колене фарватера – S2, можно написать, что вероятность нахождения точки поворота одновременно на обоих коленах фарватера равна
Р (S1S2) = Р (S1) Р (S2 / S1),
где Р (S2 / S1) – вероятность попадания на второе колено при условии, что событие S1 произошло (попадание на первое колено имело место).
Так как, согласно принятому условию, корабль достоверно находится в пределах первого колена, то Р (S2 / S1) = Р (S2) и поэтому
Р (S1S2) = Р (S1) Р (S2).
Но так как Р (S1) = 1, то вероятность Р (S1S2), соответствующая ранее принятому обозначению Р, определяется только величиной Р (S2) = Р2, то есть Р = Р2.
Корабль практически достоверно находится в пределах первого колена фарватера, если отношение меньшей из допустимых погрешностей Dz к средней квадратической погрешности удовлетворяет условию (Dz / mz) ³ 3. При этом вероятность нахождения корабля в пределах первого колена фарватера не менее 0,997, то есть практически стопроцентная (P1 = 1).
В этом случае интересуемая нас область, в которой должна находиться точка поворота, из параллелограмма превращается в полосу практически бесконечной длины (с точки зрения сравнения длины второго колена с возможными погрешностями места корабля).
Для того чтобы после циркуляции корабль попал в заданное расстояние от кромки фарватера d (рис. 2.2.5), вторая полоса фарватера поступательно смещается в сторону, противоположную курсу подхода корабля на величину s = kO = Rtg (a / 2), зависящую от радиуса циркуляции R и от угла поворота a (смещенная полоса на рисунке отмечена штриховкой). Нахождение точки поворота в любом месте смещенной полосы обеспечивает (после выполнения циркуляции) попадание точки конца поворота в пределы границ второй полосы фарватера, границы которой обозначены на рисунке сплошными линиями. При этом корпус корабля при любых его габаритах окажется вмещенным во вторую полосу.
Для заданной точки поворота, являющейся центром распределения погрешностей, попадание корабля во вторую полосу обеспечивается, если погрешности, перпендикулярные ее оси, не превысят допустимых значений d' и d''. Следовательно, вероятность появления случайных погрешностей, не превышающих допустимые, и будет вероятностью попадания корабля на второе колено фарватера. Она рассчитывается по формуле (2.2.14).
Поскольку корабль при этом достоверно находится и в первой полосе (по условию), то рассчитанная вероятность и будет вероятностью невыхода корабля за пределы второго колена фарватера.
Таким образом, прежде чем выбрать способ оценки вероятности невыхода корабля после поворота за пределы границ фарватера, необходимо для предповоротной точки вычислить вероятность нахождения корабля в пределах границ первого колена.
Если окажется, что эта вероятность практически стопроцентная, то вероятность невыхода корабля после поворота за пределы фарватера равна вероятности попадания корабля во вторую полосу.
Если же вероятность Р1 окажется меньше единицы, то решается задача попадания корабля в параллелограмм, образованный пересечением обеих смежных полос фарватера.
Пример.
Ширина первого колена фарватера F1 = 5 каб. Направление его оси 120о. Корабль, ширина которого B = 36 м, следует в расстоянии d1 = 2 каб от ближней кромки фарватера (внутренней по отношению к предстоящей стороне поворота). Снос корабля отсутствует, поэтому l = 0,5В = 18 м = 0,1 каб. Точка начала поворота выбрана так, чтобы после циркуляции корабль оказался на очередном колене фарватера в расстоянии от внутренней его границы, равном d2 = 1,0 каб (ширина второй полосы F2 = 2,5 каб, а направление ее оси 190o). Предповоротная обсервация характеризуется средним квадратическим эллипсом погрешностей с главными полуосями a = 0,7 каб, b = 0,5 каб, направление большой главной оси 330о.
Оценить вероятность нахождения корабля после поворота в пределах фарватера.
Р е ш е н и е:
– по формулам (2.2.10) вычисляются допустимые погрешности при плавании по первому колену фарватера: D'z = 5 – 2 – 0,1 = 2,9 каб, D''z = 2 – 0,1 = 1,9 каб;
– по формуле (2.2.12) рассчитывается СКП по направлению 30о, перпендикулярному оси первой полосы (g = 330° – 30° = 300о, острый угол g = 60о), mz = 0,56 каб;
– по меньшей из допустимых погрешностей определяется отношение D''z / mz = =1,9 / 0,56 = 3,39. Так как это отношение больше трех, то делается вывод, что корабль практически достоверно находится в первой полосе [расчет вероятности по формуле (2.2.11) дает Р1 = 0,9996]. Следовательно, вероятность невыхода корабля за пределы фарватеров при повороте равна вероятности нахождения корабля во второй полосе;
– по формулам (2.2.13) вычисляются допустимые погрешности при плавании по второй полосе (относительно ее смещенного положения): d'h = 2,5 – 1 – 0,1 = 1,4 каб, d''h = =1 – 0,1 = 0,9 каб;
– по формуле (2.2.15) рассчитывается СКП по направлению 280о, перпендикулярному оси второй полосы (b = 330° – 280° = 50о): mh = 0,59 каб;
– по формуле (2.2.14) вычисляется искомая вероятность Р = Р2 = 0,927.
Если ширина фарватера или морского канала ненамного превышает длину корабля, то рекомендуется предварительно произвести расчет допустимых углов сноса корабля течением и ветром, при которых будет обеспечена заданная вероятность безопасного нахождения габаритов корабля в пределах границ фарватера (при данной точности определения места на этом фарватере). Поскольку углы сноса зависят от гидрометеоусловий, то, определив допустимый угол сноса, можно обоснованно выбрать условия погоды для безопасного прохода данным фарватером или морским каналом.
Такой способ был успешно применен на одном из флотов для обеспечения безопасной проводки крупногабаритных кораблей по морскому каналу, ширина которых лишь в три раза меньше ширины канала, а длина кораблей превышала ширину канала. Расчет степени безопасности был выполнен по данной методике, а условия перехода были выбраны такие, при которых углы сноса кораблей изменяли действующую ширину кораблей на допустимую величину, не снижающую вероятность безопасного прохода ниже заданного допустимого предела.
Способ расчета допустимых углов сноса, как и других допустимых параметров навигационной безопасности плавания, рассматривается в главе 3.
При плавании по фарватерам или морским каналам, огражденным плавучими предостерегательными знаками (буями и вехами), расчет безопасности плавания производится так же, как и при отсутствии ограждения. Это обусловлено тем, что буи (вехи) являются средством приближенного ориентирования, так как даже при их первоначальной точной установке в заданных точках они в дальнейшем могут быть снесены со штатных мест (особенно
2.3. Оценка вероятности безопасного положения корабля в узкости
Узкостями считаются акватории, в которых ограничена свобода маневра корабля близлежащими навигационными опасностями.
К узкостям относятся гавани, рейды, бухты, проливы, шхеры, фиорды, районы с минными или сетевыми заграждениями, прибрежные мелководные районы, проходы между бонами, молами и другими сооружениями, представляющими опасность для свободного прохода корабля.
Если навигационные опасности являются наблюдаемыми, то обеспечение навигационной безопасности плавания сводится к соблюдению правил плавания, основанных на принципах управления кораблем с учетом его маневренных качеств, размеров и динамических характеристик. Столкновение с наблюдаемой опасностью может произойти только в том случае, если произошел сбой в организации штурманской службы и при промахах в управлении кораблем.
С точки зрения навигации наиболее опасными узкостями являются те, в которых свобода маневра ограничена ненаблюдаемыми навигационными опасностями – искусственными и естественными подводными препятствиями, банками, подводными скалами и отмелями. Для оценки безопасности плавания в таких районах в период предварительной подготовки к походу производится расчет вероятности свободного прохода для каждого участка узкости и для планируемых средств и методов кораблевождения.
Если курсы корабля проложены среди ненаблюдаемых навигационных опасностей так, что последние находятся на различных направлениях относительно корабля, то для оценки навигационной безопасности удобней всего пользоваться радиальной средней квадратической погрешностью (рис. 2.3.1). Относительно точки на линии предстоящего пути, находящейся на кратчайшем расстоянии
от навигационных опасностей, вписывается круг так, чтобы внутри него не оказалось навигационных опасностей. Измеряется радиус этого круга D и затем рассчитывается вероятность того, что радиальная погрешность места корабля на данном участке плавания бу дет меньше радиуса этого круга. Для этого используется формула кругового закона распределения Релея:
(2.3.1)
где М – радиальная СКП места корабля на данном участке плавания; s – запас чистой воды, обеспечивающий безопасное положение корабля при наличии неучтенной систематической погрешности и учитывающий габариты корабля, а также запас свободного пространства, необходимый для маневра корректуры курса (для выхода корабля на заданную линию пути).
Формула (2.3.1) решается с помощью приложения 4 (или табл. 1-в МТ-75), аргументом которой является величина kP (или R), равная (D – s) / M. В НМТ для расчета вероятности по этой формуле предназначена табл. 4.18.
Так как радиальная погрешность всегда больше любого
Если курс корабля проложен так, что ненаблюдаемые навигационные опасности расположены по обе стороны относительно линии предстоящего пути (рис. 2.3.2), то расчет вероятности безопасного положения корабля на данном участке вычисляется с помощью нормального закона распределения.
С этой целью для выбранного способа (наиболее оптимального по критериям точности и надежности) определения места на данном участке плавания вычисляются элементы среднего квадратического эллипса погрешностей и по ним с помощью формулы (1.7.1) или (1.7.2) рассчитывается
Расчет вероятности безопасного положения корабля относительно навигационных препятствий производится по формуле
(2.3.2)
где, как и раньше, Ф – интеграл вероятности (функция Лапласа), определяемый с помощью таблицы приложения 1, по табл. 1-б МТ-75 (или по табл. 4.7 НМТ) по аргументу, стоящему в скобках этой функции; D1 и D2 – кратчайшие расстояния до ближайших навигационных опасностей, расположенных с левого и правого бортов; l – действующая полуширина корабля [см. формулу (2.2.1)]; m – линейная СКП места по направлению, перпендикулярному линии пути корабля (по направлению кратчайшего расстояния до опасности).
При наличии неучтенной систематической погрешности в месте корабля ее ожидаемое значение суммируется с величиной l.
Если на данном участке района плавания вблизи корабля находится одна ненаблюдаемая навигационная опасность, а другие удалены от него на расстояние, превышающее 3М, то оценка вероятности безопасного положения корабля производится по той же формуле (2.3.2), но одно из слагаемых принимается равным единице:
(2.3.3)
При плавании в узкости по створу (рис. 2.3.3) для оценки положения корабля относительно створной линии и близлежащей ненаблюдаемой навигационной опасности рассчитывается линейная чувствительность створа р. Для створных знаков эта величина вычисляется по формуле
(2.3.4)
где R – расстояние до переднего створного знака; r – расстояние между створными знаками; g – минимально различимый горизонтальный угол (разрешающая способность зрительного средства по направлению).
Если в районе плавания для обеспечения безопасности плавания выставлен нештатный створный радиомаяк-манпункт (штатные створные радиомаяки в настоящее время практически не существуют), то его чувствительность вычисляется по формуле
где R – расстояние до створного радиомаяка; a – половина угла направленности линии радиоствора.
До тех пор пока корабль находится в зоне нечувствительности створа (в пределах ширины 2р), можно считать, что практически он находится на линии створа.
СКП отклонения корабля от линии створа в этом случае определяется по закону равномерной плотности и равна 
Если в этой ситуации все близлежащие навигационные опасности расположены на кратчайшем расстоянии от линии створа, превышающем величину чувствительности створа [D > (p + l)], то корабль достоверно, со стопроцентной вероятностью находится в безопасном расстоянии от данного навигационного препятствия.
Если корабль вышел за пределы зоны нечувствительности створных знаков (отклонение корабля от линии створа больше величины р), то вероятность его безопасного положения вычисляется обычным образом – по формуле (2.3.2) или (2.3.3), при этом линейная СКП его местоположения по направлению на опасность оценивается по
Если при нахождении корабля в зоне нечувствительности створа навигационная опасность расположена на расстоянии D < p, то корабль находится в опасном расстоянии от навигационного препятствия и возникает вероятность столкновения с этим препятствием.
Учитывая, что в этом случае корабль достоверно находится в полосе шириной 2р и любые его отклонения от линии створа в пределах от 0 до ± p равновероятны, и принимая во внимание, что для корабля, находящегося в зоне нечувствительности створа, понятие «отклонение от линии створа, превышающее ± р», несовместимо с условием нахождения корабля в зоне нечувствительности (если такое отклонение произойдет, то уже нельзя считать, что корабль находится в зоне нечувствительности), можно сделать заключение о подчиненности отклонений корабля от линии створа закону постоянной плотности распределения.
Поэтому, если D < p, то согласно этому закону вероятность безопасного положения корабля вычисляется по формуле
(2.3.5)
Если навигационные опасности расположены по обе стороны линии створа так, что D1 < p и D2 < p, то
(2.3.6)
Следует заметить, что при правильном расчете створов (в процессе их сооружения) условие D < p применительно к естественным навигационным опасностям практически нереально. Поэтому такое неравенство может наблюдаться только применительно к искусственным, временным навигационным опасностям в виде минной банки, выставленной на линии створа, или иного неподвижного объекта (например, затонувшего судна), представляющего опасность для свободного прохода корабля по створу.
Полная интегрированная вероятность безопасного плавания на данном участке маршрута движения корабля рассчитывается в процессе предварительной подготовки корабля к походу по общей вероятностной модели, изложенной в п. 2.1.
2.4. Оценка вероятности безопасного положения корабля в прибрежной зоне и в открытом море
С точки зрения навигации, прибрежной зоной считается зона, внешняя граница которой удалена от береговой черты на дальность действия радиолокационной станции. Это означает, что в прибрежной зоне возможны обсервации по наземным ориентирам.
В районах прибрежной зоны, прилегающих к береговой черте, могут находиться участки с опасными глубинами – отмели и банки.
Маршруты кораблей в прибрежных районах прокладываются в основном мористее прибрежных навигационных опасностей. В результате этого все основные навигационные опасности оказываются расположенными по одну сторону линии пути корабля.
Безопасное положение корабля обеспечивается при любой погрешности его местоположения, направленной в сторону открытого моря и при погрешности в другую сторону, не превышающей кратчайшего расстояния до близлежащих опасностей (до опасной изобаты).
Поэтому при нормальном распределении навигационных погрешностей вероятность безопасного положения корабля рассчитывается по формуле
(2.4.1)
Первое слагаемое этой формулы равно 0,5, так как вероятность иметь любую погрешность с одним знаком (в сторону открытого моря) равна 50%.
При ручных расчетах с использованием Мореходных таблиц или приложения 1 вместо этой формулы целесообразно пользоваться формулой, основанной на применении функции Лапласа:
(2.4.2)
где D – кратчайшее расстояние от линии пути корабля до ближайшей навигационной опасности или до опасной изобаты; m – СКП места корабля по направлению на опасность (по перпендикуляру на опасную изобату).
При расстоянии до ближайших навигационных опасностей, соизмеримом с габаритами корабля, в числитель аргумента функции Лапласа подставляется величина D – l, где l – действующая полуширина корабля [см. формулу (2.2.1)].
При плавании надводного корабля в открытом море с большими глубинами ненаблюдаемые навигационные опасности встречаются крайне редко. Поэтому основным критерием требуемой точности плавания чаще всего являются не соображения навигационной безопасности, а требования эффективного навигационного обеспечения применения оружия и решения тактических задач. Рассмотрение этих критериев не вписывается в целевую направленность данного труда.
Однако опыт плавания подводных лодок в подводном положении свидетельствует, что даже в океане не исключается вероятность соприкосновения с отдельно лежащими банками, глубины над которыми меньше допустимых.
Рассмотрим способ оценки вероятности безопасного положения корабля относительно отдельно лежащей навигационной опасности небольших размеров.
Пусть ширина опасной банки (в направлении, перпендикулярном линии пути корабля) равна d. Линия пути корабля проходит в кратчайшем расстоянии от банки, равном D (рис. 2.4.1).
Если предельная погрешность места корабля по направлению, соответствующему кратчайшему расстоянию до опасности, меньше расстояния до нее 
то вероятность безопасного положения корабля равна единице и никакого дополнительного ее расчета не требуется.
Если соблюдается условие 
то вероятность безопасного положения корабля в точке О оценивается по формуле (2.4.2). При этом расстояние D при подстановке в эту формулу уменьшается на величину l.
Если место корабля известно с существенными погрешностями так, что предельная линейная погрешность 
то вероятность безопасного положения корабля рассчитывается по формуле, вытекающей из сущности вероятности и ее геометрической интерпретации:
(2.4.3)
В некоторых случаях при соблюдении условия 
требуется знать, что навигационная опасность в действительности находится по тому борту корабля, по которому она «наблюдается» по данным навигационной прокладки. Вероятность этого события вычисляется по формуле (2.4.2).
Пример.
По условиям выполнения тактической задачи линия пути подводной лодки, перемещающейся в подводном положении, проложена в расстоянии D = 12 каб от опасной банки, расположенной по левому борту относительно счислимого места корабля. Поперечный размер банки d = 5 каб. СКП счислимого места подводной лодки по направлению на банку, соответствующему кратчайшему расстоянию до нее, равна m = 7 каб. Поперечные габариты корабля (с учетом его сноса) l = 0,4 каб.
Определить:
– вероятность безопасного положения подводной лодки относительно банки;
– вероятность того, что банка находится по тому борту корабля, по которому она расположена на карте с навигационной прокладкой.
Р е ш е н и е:
– так как предельная линейная погрешность с вероятностью 0,997, равная 
> (12+5) = 17 каб, то для расчета вероятности безопасного положения используется формула (2.4.3). Ее решение с помощью таблицы приложения 1 или с помощью Мореходных таблиц приводит к результату Р = 0,958;
– вероятность того, что банка действительно находится с левого борта вычисляется по формуле (2.4.2), которая дает ответ Р = 0,956.
В некоторых случаях для подводных лодок в открытом море по тактическим соображениям задается полоса движения. Вероятность нахождения подводной лодки в пределах заданной полосы вычисляется по формуле (2.2.3). Поскольку ширина полосы на несколько порядков превышает размеры корабля и выход части корпуса подводной лодки за пределы границ полосы не грозит навигационным происшествием, то при использовании формулы (2.2.3) в данном случае допустимо принять l = 0.
2.5.Оценка безопасности расхождения кораблей
Сущность оценки безопасности сближения кораблей
Все современные суда и корабли согласно требованиям МППСС и рекомендациям Международной конвенции СОЛАС-74 (правило 12 главы V), объявленным резолюцией ИМО А.477, оборудуются радиотехническими средствами наблюдения – радиолокаторами, а военные корабли – еще и гидроакустическими станциями.
В правилах 5 МППСС-72 говорится, что каждое судно должно постоянно вести надлежащее наблюдение за встречными кораблями с помощью всех имеющихся средств с тем, чтобы полностью и своевременно оценить ситуацию и опасность столкновения. Для этого с момента обнаружения встречного корабля должна вестись радиолокационная прокладка.
С помощью радиолокационной прокладки определяются параметры движения встречного корабля и заблаговременно оценивается и анализируется навигационная ситуация.
Безопасность своего корабля от столкновения с встречным кораблем обеспечивается в том случае, если кратчайшее расстояние между их бортами в момент расхождения будет не меньше величины s, исключающей взаимное присасывание двух кораблей за счет воздействия гидродинамических сил. По данным [47], расстояние расхождения s не должно быть меньше 1,5 ширины своего корабля В.
Если учесть, что расстояние до встречного корабля определяется относительно антенны РЛС, расположенной в некотором удалении от обводов корпуса корабля, то минимально допустимым расстоянием в момент расхождения является величина Dд = s + r, где r – расстояние от места расположения антенны РЛС до наиболее выступающей точки плоских габаритов корабля в сторону встречного корабля (в момент кратчайшего сближения с ним). С некоторым приближением можно принять r = 0,5L (L – длина корабля) и тогда
Dд » s + 0,5L. (2.5.1)
В некоторых случаях, когда позволяет навигационная обстановка, допустимое минимальное расстояние между кораблями назначается c заведомым перестраховочным запасом или исходя из тактических соображений. Поскольку такие расстояния всегда больше величины Dд, то при расхождении на заданном таким образом расстоянии опасности столкновения не возникает.
Рассмотрим правила оценки безопасного положения кораблей в момент сближения.
При обычном графоаналитическом решении этой задачи выполняются следующие операции (рис. 2.5.1).
С обнаружением встречного корабля на остром курсовом угле с помощью радиолокатора (РЛС) или гидроакустической станции (ГАС) на маневренном планшете определяются параметры движения цели. Расстояния и пеленги измеряются по ближайшей точке
От точки Ко (полярные координаты По, Do), в которой было закончено первоначальное определение параметров движения встречного корабля (см. на рисунке скоростной треугольник со сторонами VM, VK и Vr), прокладывается линия относительного курса Кr и определяется положение кораблей в момент кратчайшего сближения. Точка К' на рис. 2.5.1 – прогнозируемое место встречного корабля в момент сближения на кратчайшее расстояние DК = МоK'.
Относительно точки Мо, совпадающей с местом антенны РЛС, проводится круг радиусом, равным полудлине своего корабля (Мос = 0,5L), и по радиусу этого круга, совпадающему с пеленгом на встречный корабль МоК', от точки с откладывается расстояние s= сd, на котором не ощущаются гидродинамические силы взаимного присасывания кораблей.
Через точку d проводится прямая f – f, параллельная линии относительного курса. Эта линия является границей допустимого сближения кораблей. Она удалена от своего корабля на допустимое расстояние сближения, равное Dд = 0,5L + s.
Если Dк > Dд и параметры движения встречного корабля определены безошибочно, то корабли расходятся безопасно.
Однако место встречного корабля обычно определяются со случайными погрешностями. Поэтому безопасность расхождения оценивается в вероятностном смысле.
Для оценки вероятности безопасного положения кораблей в момент их кратчайшего сближения необходимо знать среднюю квадратическую погрешность места mL по направлению перпендикуляра к линии относительного курса. Для ее определения необходимо вычислить векториальные погрешности измерения пеленга Коg и расстояния Кое. Они соответственно равны Коg = D tgmп и Кое = mD.
Проецируя эти величины на перпендикуляр к линии относительного курса и квадратически складывая полученные проекции, получим искомое значение СКП места по перпендикуляру к линии относительного курса:
(2.5.2)
где y – угол между большей из двух векториальных погрешностей и перпендикуляром к линии относительного курса. Если Коg < Кое, то тригонометрические функции в формуле (2.5.2) следует поменять местами. При графоаналитическом решении задачи проекции векториальных СКП проще всего измерить прямо на карте или на планшете, если прокладка ведется в укрупненном масштабе.
Из геометрии рисунка следует, что для расхождения на безопасном расстоянии фактическая случайная погрешность в определении относительного места встречного корабля, направленная в сторону корабля М по линии К'Мо, не должна превышать величины d = Dк – Dд. Только в этом случае будет стопроцентная гарантия безопасного расхождения.
Учитывая нормальность распределения погрешностей измерения пеленга и дистанции, вероятность события, состоящего в том, что реальная случайная погрешность в месте корабля по направлению на корабль в момент их кратчайшего сближения не превысит величины d, а, следовательно, и вероятность безопасного положения кораблей, рассчитывается по формуле
(2.5.3)
Если допустимая погрешность d больше предельной погрешности места по перпендикуляру к линии относительного курса (больше 3mL), то расчет по формуле (2.5.3) можно не производить, так как в этом случае вероятность безопасного расхождения будет равна около 100%.
Основным недостатком графоаналитического способа является то, что при нем не может быть реализован теоретический метод (оптимальная фильтрация Калмана) непрерывного уточнения параметров движения встречного корабля (от измерения к измерению). Графоаналитический метод не позволяет оценить возможные погрешности в определении относительных курса и скорости. Поэтому учитываемое кратчайшее расстояние в действительности может оказаться несколько больше или меньше расстояния МоK'. Это обстоятельство влияет на точность оценки вероятности безопасного положения кораблей в момент их максимального сближения. В первом случае ее действительное значение больше рассчитанного, во втором – меньше.
От этого недостатка, так же, как и от многих других, свободен способ оценки вероятности безопасного расхождения, основанный на использовании современных заранее спрограммированных ЭВМ.
Математические основы оценки безопасности расхождения при использовании автоматизированных средств обработки информации
Сущность решения задачи с помощью автоматизированных средств обработки информации остается такой же, как и при графоаналитическом способе. Однако использование спрограммированных ЭВМ позволяет без затрат дополнительного времени более эффективно использовать результаты измерений пеленгов и дистанций до встречного корабля для повышения точности определения параметров движения встречного корабля и выполнения дополнительных операций, обеспечивающих более высокую надежность безопасного расхождения.
Математической основой определения места и элементов движения встречного корабля является метод наименьших квадратов или его модификация – линейный оптимальный фильтр Калмана.
В первом случае для получения сглаженных относительного курса и относительной скорости (следовательно, и элементов движения встречного корабля) требуется накопление измеряемой информации, то есть результат расчета получается не сразу, а после серии измерений. При этом утрачивается оперативность (быстрота) определения курса и скорости цели.
Во втором случае – при использовании оптимального фильтра Калмана – накопление информации не требуется: после каждой пары измерений, разделенных интервалом времени 1 … 3 мин, вырабатываются вероятнейшие относительные координаты встречного корабля и вероятнейшие курс и скорость (относительного движения и движения встречного корабля), которые по мере продолжения измерений непрерывно уточняются. Это позволяет в реальном масштабе времени еще в процессе определения параметров движения встречного корабля непрерывно оценивать и уточнять обстановку сближения.
Рассмотрим один из вариантов возможных алгоритмов для программирования ЭВМ, основанный на принципе оптимальной линейной фильтрации погрешностей.
По результатам каждого измерения пеленга Пi и дистанции Di до встречного корабля вычисляются прямоугольные координаты корабля хi и yi (за начало координат принимается неподвижная точка местоположения своего корабля – точка Мо, см. рис. 2.5.1):
хi = Di cos Пi; yi = Di sin Пi, (i = 1, 2, …, n), (2.5.4)
где i – порядковый номер замера пеленга и дистанции (засечки); n – общее количество засечек.
По первой паре засечек обычным образом вычисляются первые значения (j = 1) проекций относительной скорости на координатную ось х (проекция V'r) и на ось y (проекция V''r):
V'r = (х2 – х1) / t; V''r = (y2 – y1) / t, (2.5.5)
где t – временной интервал между засечками.
Эти значения, рассчитанные в первом цикле измерений, как и все значения, вычисленные в последующих циклах (c учетом величины и точности всех предыдущих данных), принимаются за вероятнейшие. Вероятнейшие значения искомых величин обозначаются свойственными им символами с чертой над ними.
Далее по каждой последующей засечке производится уточнение этих искомых значений. Для этого их каждое очередное
F = Fc + SHT (HSHT + R)–1 (Z – Zc), (2.5.6)
где F – 
и вероятнейшие значения проекций относительной скорости на координатные оси – величины 
(черта над символом означает «вероятнейшее значение»);
Fc –
S – корреляционная матрица счислимых величин. Элементами этой матрицы являются коэффициенты ковариации (корреляционные моменты) элементов матрицы Fc;
H – матрица коэффициентов исходных уравнений, связывающих измеренные искомые величины.
Исходными уравнениями в каждом цикле измерений являются:
(2.5.7)
Коэффициентами при искомых величинах 
являются: 1, 1, t и t, соответственно. Они и составляют элементы матрицы H;
HT – транспонированная матрица коэффициентов;
R – корреляционная матрица измеренных величин х, у, Dх и Dy;
Z – вектор
Zc – вектор
В раскрытом виде эти матрицы имеют следующий вид:
|
|
|
|
|
Элементы матрицы Fc рассчитываются по формулам:
Элементы матрицы S рассчитываются по формулам:
Элементы матрицы R рассчитываются по формулам:
Элементы матрицы Z рассчитываются по формулам:
Элементы матрицы Zc рассчитываются по формулам:
В каждом j цикле измерений, то есть после каждой
P = SHT (HSHT+R)–1(HT)–1R. (2.5.8)
С помощью этого уравнения вычисляются СКП и корреляция элементов матрицы искомых величин:
Далее (после каждой засечки) по вычисленным вероятнейшим координатам и вероятнейшим составляющим (проекциям) относительной скорости с учетом их весовых коэффициентов (с использованием элементов матрицы P) рассчитываются следующие данные, необходимые для анализа ситуации и для оценки вероятности безопасного расхождения:
– относительная скорость, относительный курс и их средние квадратические погрешности:
(2.5.9)
относительный курс по третьей формуле (2.5.9), как и все другие вычисляемые в дальнейшем направления, измеряются в четвертной системе счета;
– проекции на координатные оси скорости встречного корабля и его элементы движения:
(2.5.10)
– вероятнейшие полярные координаты встречного корабля на момент последней засечки:
(2.5.11)
– предельный относительный курс и относительный курсовой угол:
(2.5.12)
– кратчайшее расстояние между кораблями, время сближения на кратчайшее расстояние (от момента последней засечки) и допустимая погрешность:
(2.5.13)
– элементы среднего квадратического эллипса погрешностей места встречного корабля:
(2.5.14)
– линейная СКП места встречного корабля по перпендикуляру к линии относительного курса:
(2.5.15)
– вероятность безопасного положения кораблей в момент их максимального сближения:
(2.5.16)
Таким образом, после каждой засечки i > 2 ЭВМ вырабатывает всю необходимую информацию, позволяющую анализировать ситуацию сближения и оценивать вероятность безопасности расхождения.
Исходными данными для выработки указанных выше величин являются пеленги и дистанции до встречного корабля (и их СКП), интервалы времени между засечками и элементы движения своего корабля.
Эффективность автоматизированного расчета навигационной безопасности расхождения существенно повышается при графическом отображении информации на дисплее ЭВМ.
2.6. Маневр расхождения для предупреждения столкновения
Маневр расхождения с целью предупреждения сближения на заданную дистанцию производится после определения параметров движения встречного корабля и выявления факта, состоящего в том, что кратчайшая дистанция между линией относительного движения и целью меньше безопасной (допустимой).
Маневр расхождения выбирается на основе анализа возможных вариантов изменения курса и скорости, обеспечивающих расхождение с целью на дистанции, не меньшей безопасной Dб (или допустимой Dд).
Анализ возможных маневров производится следующим образом.
Из начальной позиции маневрирующего (своего) корабля Мо (рис. 2.6.1), зафиксированной после определения ПДЦ, проводятся касательные Kρ1 и Kρ2 к окружности, описанной из начальной позиции цели Ко радиусом, равным Dб. Полученный сектор Kρ1Mo Kρ2 является сектором опасных относительных курсов (СООК). Все относительные курсы, расположенные в этом секторе, ведут к сближению с целью на расстояние, меньшее Dб. Зная вектор скорости цели VК, можно было бы построить треугольник скоростей (для любого относительного курса) и по заданной скорости маневрирующего корабля определить курс расхождения, соответствующий выбранной линии относительного перемещения.
Однако найденный таким образом курс не всегда соответствует другим требованиям (например, требованиям МППСС, или требованиям навигационной безопасности от посадки на близлежащие мели и банки). Поэтому производится анализ возможных вариантов расхождения. Для этого из конца вектора скорости цели (точка b) проводятся прямые, параллельные относительным курсам Kρ1 и Kρ2, и в результате получается сектор с вершиной в точке b, равный сектору опасных относительных курсов (на рис. 2.6.1 он выделен затенением). Любой вектор скорости маневрирующего корабля, конец которого находится внутри этого сектора, является опасным: элементы движения маневрирующего корабля, соответствующие такому вектору скорости, ведут к сближению с встречным кораблем на расстояние D < Dб. И, наоборот, если конец вектора скорости маневрирующего корабля находится за пределами СООК или на любой его границе, то соответствующие ему элементы движения безопасны – маневрирующий корабль разойдется с встречным кораблем на расстоянии, не меньшем безопасного.
Выбирается такой вектор скорости маневрирующего корабля, который больше всего соответствует задачам корабля, навигационной безопасности от посадки на мель и требованиям международных правил предупреждения столкновений. Так, например, если задачей маневрирующего корабля является безопасное расхождение с встречным кораблем левыми бортами и при этом следовать в восточном направлении, то этому требованию соответствует вектор VM = Коd. Линия относительного движения Кr, параллельная вектору относительной скорости bd, проходит в безопасном расстоянии (D > Dб), а курс своего корабля направлен на восток.
Этот же способ выбора безопасного вектора скорости маневрирующего корабля используется и при расхождении с несколькими кораблями: секторы, равные секторам опасных относительных курсов, строятся в точках, являющихся концами векторов скорости всех встречных кораблей. Элементы движения маневрирующего корабля должны соответствовать тому вектору его скорости, конец, которого находится за пределами (или на одной из границ) всех проведенных секторов.
При расхождении с несколькими целями за объект маневра целесообразно принимать свой корабль (точка Мо в центре маневренного планшета).
В тех случаях, когда скорость своего корабля больше скорости встречного корабля и имеется предположение о том, что встречный корабль после определения его элементов движения может изменить курс в любую сторону и на любое число градусов, гарантированное уклонение от опасного сближения производится на основе следующих рассуждений.
Свой корабль для уклонения от сближения на заданное расстояние Dз, превышающее допустимое расстояние сближения, должен привести более тихоходный встречный корабль (объект маневра) на свой курсовой угол, превышающий предельный, то есть на курсовой угол qМ > Qпр.
Предельный курсовой угол рассчитывается по формуле
Qпр = DQ + Q = arcsin (Dб /Dо) + arcsin (VК / VМ). (2.6.1)
Чтобы привести объект маневра на предельный курсовой угол, выполняются следующие расчеты (рис. 2.6.2).
Из позиции объекта маневра Ко, как из центра, проводится полуокружность радиусом Dб (Dд), а из позиции своего корабля Мо (в данном случае маневрирующего) проводится касательная, которая является линией относительного движения, при которой обеспечивается уклонение своего корабля на требуемом расстоянии. В полученном прямоугольном треугольнике МоbКо угол при вершине Мо равен DQ, а синус этого угла равен отношению Dб /Dо.
Для того чтобы получить предельный курсовой угол, к полученному углу DQ следует прибавить критический курсовой угол Q. С этой целью строится скоростной треугольник при точке b, считая, что встречный корабль будет следовать самым опасным для корабля М курсом КК, перпендикулярным стороне критического угла (линии относительного курса Kρ1). Из конца вектора скорости VК радиусом, равным скорости маневрирующего корабля, засекается линия относительного движения и в результате получается прямоугольный треугольник скоростей с углом при вершине d, равным критическому курсовому углу Q. Синус этого угла равен отношению VК / VМ.
Курс своего корабля KM1, параллельный вектору скорости VM, является искомым курсом. При следовании этим курсом корабли не сблизятся на расстояние, меньшее допустимого (при любом курсе встречного корабля).
Если от линии начального пеленга МоКо отложить предельный курсовой угол в другую сторону, то получим сектор опасных курсов KM1MoKM2, равный 2Qпр. Все курсы своего корабля вне этого сектора обеспечивают уклонение от сближения с встречным кораблем на дистанцию, не меньшую допустимой.
2.7. Оценка безопасности корабля на фарватере при нахождении на нем встречного корабля
Плавание по неогражденному фарватеру (или морскому каналу) при нахождении в его пределах встречных кораблей с навигационной точки зрения является наиболее сложным и ответственным. Оно требует тщательной подготовки и опирается на предварительные расчеты навигационно-гидрографического обеспечения, одним из главных элементов которого является расчет вероятности безопасного прохода каждого участка фарватера с учетом возможности расхождения с встречными целями.
Вероятность безопасного положения корабля на фарватере при нахождении на последнем встречного корабля зависит от вероятности (Р) события, состоящего в том, что свой корабль находится в пределах «чистой» воды неогражденного фарватера (с учетом габаритов своего и встречного кораблей) и от вероятности (Р') события, состоящего в том, что в момент максимального сближения со встречным кораблем на фарватере расстояние между кораблями будет безопасным.
Вероятностный характер первого события обусловлен отсутствием надежного ограждения границ фарватера и наличием случайных погрешностей в месте своего корабля, направленных по перпендикуляру к оси фарватера.
Вероятностный характер второго события обусловлен только погрешностями в инструментальном измерении полярных координат встречного корабля относительно своего корабля.
Cобытие невыхода корабля за кромки фарватера, характеризующееся вероятностью Р, и событие безопасного положения относительно встречного корабля в момент максимального сближения с ним, характеризующееся вероятностью Р', практически независимые. Поэтому итоговая вероятность Рф безопасного нахождения корабля на фарватере соответствует вероятности совместного появления и первого, и второго событий, то есть
Рф = РР'. (2.7.1)
Рассмотрим способ оценки вероятности Р безопасного положения корабля в поперечных границах фарватера с учетом того, что часть ширины фарватера занимает корпус встречного корабля К1 (рис. 2.7.1).
При этом полоса свободного перемещения своего корабля по фарватеру сужается. Уменьшается и вероятность нахождения своего корабля в пределах чистой воды фарватера
Р = Р1 – DР, (2.7.2)
где Р1 – вероятность невыхода корабля за пределы границ фарватера, считая, что в его пределах отсутствуют другие корабли [рассчитывается по формуле (2.2.2) или (2.2.3)]; DР – вероятность того,
что погрешности своего корабля будут находиться в интервале cf, равном ширине встречного корабля В1. Раскрывая значения oc и of и учитывая геометрический смысл нормального распределения, получим:
(2.7.3)
где d – расстояние своего корабля до ближней кромки фарватера, ширина которого F; d1 – отстояние встречного корабля от правой кромки фарватера (относительно направления его движения); В1 – ширина встречного корабля; m –
Здесь, как и раньше, Ф – функция Лапласа, значение которой приведено в приложении 1, в табл. 1-б МТ-75 или в табл. 4.7 НМТ.
Величина d1 определяется по формуле d1 = F – d – Dк. Величина Dк – кратчайшее расстояние между кораблями в момент их расхождения. Оно определяется по результатам ведения радиолокационной прокладки встречного корабля (рис. 2.7.2). При условии, что корабли движутся параллельно оси фарватера, кратчайшее расстояние определяется по измеренным расстоянию Dо и курсовому углу qo встречного корабля: Dк = Dо sin qo.
Вероятность Р соответствует заштрихованной площади, расположенной под кривой плотности нормального распределения j(D), изображенной на рис. 2.7.1.
Безопасное положение своего корабля относительно встречного в момент максимального сближения кораблей обеспечивается в том случае, если расстояние между их бортами в момент расхождения будет не меньше величины s » 1,5В, исключающей взаимное присасывание двух кораблей за счет взаимодействия гидродинамических сил.
Если учесть, что расстояние до встречного корабля определяется относительно антенны РЛС, расположенной в диаметральной плоскости корабля, то минимально допустимым расстоянием в момент расхождения является величина Dд = s + 0,5В.
Граница допустимого расстояния сближения, обозначенная на рис. 2.7.2 и 2.7.3 линией f – f, является границей опасной зоны сближения.
При соблюдении условия
Dк ³ Dд + 0,5В1 (2.7.4)
безопасное положение кораблей обеспечивается в том случае, если местоположение встречного корабля относительно нашего корабля будет определяться по результатам радиолокационной прокладки с погрешностями, не превышающими величины oa в сторону нашего корабля и с любыми погрешностями, направленными в противоположную сторону.
Из рис. 2.7.2 следует: oa = Dк – Dд – 0,5В1.
Вероятность события, состоящего в том, что погрешность определения кратчайшего расстояния будет находиться в пределах от – ¥ до oa, соответствует заштрихованной площади, изображенной на рис. 2.7.2. Ее численное значение рассчитывается по формуле
(2.7.5)
где m1 – СКП измерения расстояния Dк, вычисляемая как
В результате анализа формулы (2.7.5) можно сделать следующий вывод. Чем меньше m1, тем больше численное значение функции Ф и тем в большей степени симметрично сужается заштрихованная на рис. 2.7.2 площадь под кривой плотности нормального распределения. При m1 = 0 (измерения полярных координат встречного корабля и определение кратчайшего расстояния выполнены безошибочно) функция Лапласа обращается в единицу и вероятность, вычисляемая по формуле (2.7.5), будет равна Р' = 1. Вероятностный процесс в этом случае превращается в детерминированный – корабли в момент максимального сближения достоверно находятся на безопасном расстоянии, равном Dк.
При обнаружении встречного корабля на остром курсовом угле почти по носу (рис. 2.7.3) условие (2.7.4), как правило, не соблюдается. В таких ситуациях (при больших ошибках радиолокационного определения местонахождения встречного корабля) не всегда предоставляется возможность сразу после его обнаружения определить борт расхождения. В этом случае безопасное расхождение кораблей на расстоянии Dд обеспечивается при поперечных случайных погрешностях, выходящих за пределы oa (по направлению в одну сторону) и за пределы величины ob (в противоположном направлении). При любых погрешностях, меньших указанных величин, сохраняется вероятностная возможность фактического местонахождения встречного корабля в опасной зоне (Dк < Dд).
Вероятность появления погрешностей, превышающих величины oa и ob, численно равна заштрихованной площади под кривой плотности распределения нормального закона. Эта вероятность и определяет степень безопасного положения кораблей в момент их максимального сближения. Ее расчет производится по формуле, вытекающей из геометрической интерпретации нормального закона распределения погрешностей:
(2.7.6)
Если при несоблюдении условия (2.7.4) встречный корабль, находящийся на остром курсовом угле, надежно наблюдается по одному борту и при этом предельная поперечная погрешность его относительного положения меньше кратчайшего расстояния, то второе слагаемое, стоящее в квадратных скобках формулы (2.7.6), обращается в единицу и тогда
(2.7.7)
Две последние формулы позволяют сделать следующие выводы.
Чем меньше m1, тем больше функция Лапласа и тем меньше вероятность безопасного расхождения. В пределе, при m1 = 0 функции Лапласа, стоящие в этих формулах, обращаются в единицы и поэтому Р' = 0 (кривая плотности распределения превращается в вертикальную линию с площадью под ней, равной нулю). Эта ситуация соответствует детерминированному процессу, при котором измеренное расстояние Dк является безошибочным и, следовательно, исключаются любые другие возможные положения встречного корабля. Поскольку Dк < Dд (по условию), то встречный корабль достоверно находится в опасной зоне.
Если при этом Dк < 0,5 (В + В1), то корабли, находясь в опасном расстоянии относительно друг друга, непременно столкнутся даже при отсутствии эффекта присасывания. В этом случае столкновение может быть предотвращено своевременным и правильным маневром уклонения от сближения на опасное расстояние, предпринятое в соответствии с МППСС.
Определив выражения для расчета вероятностей Р и Р', по формуле (2.7.1) можно вычислить итоговую вероятность Pф безопасного положения корабля на фарватере с учетом нахождения на нем встречного корабля. Эта формула с учетом выражения (2.7.2) принимает следующий вид:
Рф = РР' = (Р1 – DР)P'. (2.7.8)
При расчетах по приведенным здесь формулам следует учитывать знаки величин d и d1. Они положительные, если направлены к оси фарватера. В противоположном случае они принимаются со знаком «минус».
При наличии сноса кораблей течением и ветром в расчетные формулы вместо значений В и В1 подставляются их действующие значения – величины B' и B1', равные
(2.7.9)
где L и B – длина и ширина своего корабля; L1 и B1 –длина и ширина встречного корабля; с и с1 – углы сноса кораблей.
Габариты встречного корабля определяются приближенно или по визуальному его наблюдению, или по характеру
Расчет вероятности с помощью таблиц функции Лапласа (для различных вариантов Dк) целесообразен при отсутствии ЭВМ и только в процессе предварительной подготовки корабля к плаванию по фарватеру. Оперативный же расчет безопасности непосредственно в море может выполняться только с помощью заранее спрограммированной ЭВМ.
В качестве иллюстрации динамики изменения вероятности безопасного плавания при различных положениях кораблей на фарватере произведен расчет результирующей вероятности для следующих условий (все величины выражены в долях ширины фарватера F): F = 1, B = B1 = 0,05, m = m1 = 0,15, свой корабль следует по оси фарватера (d = 0,5), а кратчайшее расстояние до встречного корабля изменяется от нуля (корабли следуют по оси фарватера навстречу друг другу) до 0,5 (встречный корабль на границе фарватера), s = 1,5B = 0,075.
Расчеты производились с использованием ЭВМ. Интегралы вероятностей, соответствующие используемым функциям Лапласа, решались способом численного интегрирования. Для контроля расчеты дублировались с помощью системы автоматизированных математических вычислений «MathCAD plus 6,0», дающей прямые готовые решения используемых формул. Эта система не требует программирования, исключает возможность появления связанных с ним ошибок, проста и оперативна и поэтому удобна для производства автоматизированных расчетов с помощью персональных компьютеров в корабельных условиях. Результаты расчета характеризуют кривые, изображенные на рис. 2.7.4.
Первая кривая соответствует вероятностям безопасного положения корабля на фарватере при отсутствии сноса кораблей ветром и течением.
Вторая кривая – вероятности безопасного положения при наличии углов сноса с =10о.
Снос увеличивает поперечные габаритные составляющие. В данном случае для простоты расчетов принято, что длины кораблей одинаковы и равны 0,25F. Следовательно, в соответствии с формулами (2.7.9), поперечные составляющие габаритов кораблей равны В' = В1' = 0,0926F.
Из рассмотрения графиков видно, что обе кривые имеют одинаковый характер: при встречных курсах кораблей вероятность безопасного плавания минимальная и чем дальше встречный корабль удален от другого корабля, тем меньше вероятность столкновения с ним и тем больше вероятность безопасного плавания.
При отсутствии встречного корабля вероятность безопасного положения корабля в границах фарватера при следовании посередине фарватера в соответствии с формулой (2.2.2) составила бы 0,998 (при отсутствии сноса) или 0,997 (при угле сноса 10о). Сравнивая эти данные с данными графиков, видно, что появление встречного корабля снижает безопасность плавания до 20 … 35% при движении кораблей навстречу друг другу и до 80% при расхождении на кратчайшем расстоянии, равном 0,3F.
Наличие сноса существенно сказывается на вероятности безопасного положения корабля относительно поперечных границ фарватера и встречного корабля в момент их максимального сближения. Особенно сильно проявляется фактор сноса при встречном движении кораблей и при нахождении корабля вблизи кромок фарватера. С увеличением кратчайшего расстояния между кораблями и с удалением от границ фарватера влияние фактора сноса заметно снижается.
Особенно сильно сказывается снос при расхождении кораблей на узком фарватере. Для предотвращения столкновения или выхода корабля за пределы узкого фарватера рекомендуется установление одностороннего режима плавания по фарватеру (морскому каналу).
2.8. Оценка вероятности случайного выхода корабля на встречную полосу движения
Во многих случаях неогражденные смежные полосы, в которых движение совершается в противоположных направлениях, имеют одну общую границу или разделены специальной полосой, называемой полосой разделения. Если при этом полосы достаточно узкие, а в районе плавания отсутствуют средства навигационного оборудования для высокоточного определения места корабля, то не исключается возможность случайного попадания корабля на встречную полосу движения.
В п.2.1 было показано, что при плавании корабля в полосе установленного одностороннего движения на вероятность плавания, безопасного от столкновения, влияет вероятность Qвп выхода корабля из своей полосы движения в соседнюю полосу встречного движения [см. вторую формулу (2.1.8)].
Для определения вероятности такого события рассмотрим рис. 2.8.1, на котором изображены две полосы с противоположно направленным движением, разграниченные полосой разделения, ширина которой равна b. Корабль следует в расстоянии d от внутренней границы своей полосы.
Корпус корабля может оказаться в пределах соседней полосы при условии, что его случайная поперечная погрешность D будет заключаться в пределах ok < D < oa. Из рисунка следует: ok = d + b –––0,5B, oa = F + d + b + 0,5B.
При нормальном распределении случайных погрешностей местоположения корабля вероятность того, что его погрешности окажутся в указанных пределах, рассчитывается по формуле
(2.8.1)
Здесь m – средняя квадратическая погрешность места корабля по направлению, перпендикулярному оси фарватера.
При ручных расчетах вместо этой формулы целесообразно использовать формулу, выраженную через табулированные интегралы вероятностей (функции Лапласа). При этом формула (2.8.1) преобразуется к следующему виду:
(2.8.2)
При наличии сноса корабля вместо ширины корабля В используется величина В', вычисляемая по первой формуле (2.7.9).
Пример.
Корабль следует в своей полосе одностороннего движения в 2 каб от внутренней ее границы. Ширина корабля В = 0,1 каб. Ширина полосы встречного движения F = 6 каб. Ширина полосы разделения b = 2 каб. Средняя квадратическая погрешность места корабля m = 3 каб.
Определить вероятность нахождения корабля в полосе встречного движения.
Р е ш е н и е:
– с помощью таблицы приложения 1 вычисляются значения функций Лапласа – 1,0 и 0,812;
– по формуле (2.8.2) вычисляется искомая вероятность Qвп = 0,094.
2.9. Статистический (апостериорный) способ оценки навигационных происшествий
Объективной оценкой навигационной безопасности плавания является вероятность навигационных происшествий, случившихся с кораблями и судами за заданный интервал времени и в определенных навигационно-гидрографических, метеорологических и географических условиях.
Такая оценка определяется на основе обобщения и обработки статистических данных, характеризующих отношение навигационных происшествий к общему количеству кораблей, совершающих плавание в заданном районе и в заданный промежуток времени.
Статистическая вероятность навигационного происшествия
Из теории вероятностей известно [9], что при ограниченном количестве опытов вероятность того или иного события может быть приближенно оценена по частоте появления событий. Поэтому за вероятность навигационных происшествий принимается величина Q, равная
(2.9.1)
где n – количество навигационных аварийных случаев, случившихся в заданном районе плавания (в открытом море, в узкости и т. п.) в течение заданного интервала времени (в течение года, зимнего или летнего периода, ночью, днем и т. п.); N – общее количество судов, плавающих в рассматриваемых условиях в заданный интервал времени.
В некоторых случаях за показатель навигационной безопасности плавания принимают не вероятность навигационных происшествий (аварийных случаев), а количество навигационных происшествий q, приходящихся на одну милю плавания (или на заданное количество миль, например, на 1000 или на 100 миль плавания):
(2.9.2)
где s – заданное количество миль, на которое приходится q навигационных происшествий; S – общее количество пройденных миль всеми кораблями данного типа (класса) за установленный период времени.
Этот показатель эффективен при ограниченном количестве выходов кораблей в море. Но чаще всего навигационную аварийность оценивают по первому показателю, так как оперирование вероятностями позволяет использовать статистические критерии, необходимые при решении некоторых практических задач, связанных с оценками навигационной безопасности плавания.
Степень достоверности формулы (2.9.1) оценивается средней квадратической погрешностью mQ:
(2.9.3)
Отсюда следует, что с увеличением объема статистических данных точность приближенной оценки вероятности навигационных происшествий возрастает.
Решая последнюю формулу относительно N, получим число, определяющее необходимый объем требуемой информации о плавании кораблей. При этом следует задаваться такой величиной Q, которая соответствует реальным ее значениям, полученным по опыту предшествующего плавания кораблей и судов мирового флота (по данным [25], Q = 0,01 … 0,08).
Результаты расчета представлены в табл. 2.9.1.
Т а б л и ц а 2.9.1
| Q | 0,01 | 0,02 | 0,04 | 0,06 | 0,08 |
| N | 909 | 437 | 228 | 141 | 104 |
Анализ этой таблицы показывает, что для получения достоверной вероятности навигационных происшествий требуется достаточно большой объем статистических данных о плавании кораблей в заданных условиях и в заданный период времени.
Поскольку не всегда возможно получить требуемый объем информации за один период времени, статистические данные обобщают за несколько (k) одинаковых периодов и вероятность навигационного происшествия вычисляют по формуле среднего взвешенного с учетом количества плавающих кораблей (данного типа) Ni в каждом
(2.9.4)
где Qi – вероятность навигационных происшествий в
Учитывая, что точность оценки вероятности навигационного происшествия повышается с увеличением объема статистической информации, возникает вопрос о возможности объединения информации о навигационных происшествиях, полученной на кораблях разных типов или разных водоизмещений, для оценки вероятности происшествий на кораблях интересуемого типа (обозначим этот тип символом «К»).
Для решения этого вопроса принимается гипотеза, состоящая в том, что статистика навигационных происшествий одинакова для любого корабля, совершающего морские переходы, вне зависимости от его типа и водоизмещения, то есть расхождение вероятностей Q (вычислена по информации о происшествиях с кораблями всех типов) и QК (вычислена по статистике происшествий с кораблями «К») обусловлено чисто случайными причинами, связанными с ограниченным объемом информации о кораблях типа «К».
Эта гипотеза может быть подтверждена или опровергнута по результатам статистического анализа с помощью статистического критерия [45].
Для этого по формуле (2.9.4) оценивается вероятность навигационного происшествия кораблей различных типов, без учета их типа и водоизмещения и вычисляется полная средняя квадратическая погрешность этой вероятности:
(2.9.5)
где m – средняя квадратическая погрешность, характеризующая случайный разброс числа навигационных происшествий от периода к периоду. Она вычисляется по формуле СКП среднего взвешенного значения:
(2.9.6)
После этого аналогичным образом вычисляются оценки QК и mПК для кораблей интересуемого типа «K» (без учета информации о судах другого типа).
Принятая гипотеза о случайности расхождения вероятностей Q и QК подтверждается (с заданной вероятностью Р), если соблюдается условие
(2.9.7)
где tР1 и tР2 – коэффициенты распределения Стьюдента, соответствующие заданному уровню доверительной вероятности Р. Каждый из них определяется по таблице Приложения 6 по доверительной вероятности Р и по количеству k используемых вероятностей Qi. Модифицированная выписка из этого приложения представлена в виде табл. 2.9.2.
Т а б л и ц а 2.9.2
| P | k | |||||||
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 0,95 0,99 0,999 | 4,30 9,92 31,60 | 3,18 5,84 12,94 | 2,77 4,60 8,61 | 2,57 4,03 6,86 | 2,45 3,71 5,96 | 2,36 3,50 5,40 | 2,31 3,36 5,04 | 2,26 3,25 4,78 |
При подтверждении принятой гипотезы расчет вероятности навигационных происшествий для корабля типа «К» допустимо производить по всей совокупности информации о навигационных происшествиях на кораблях всех типов и любого водоизмещения.
Если гипотеза о случайности расхождения вероятностей Q и QК не подтверждается, то есть условие (2.9.7) не выполняется, то расчет вероятности навигационных происшествий интересуемого типа кораблей следует производить по статистике навигационных аварийных случаев, произошедших только с кораблями этого типа. Надежность полученной оценки в этом случае будет ниже приблизительно в 
раз.
Распределение Стьюдента правомерно применять в предположении нормального распределения величин Qi. Если это не так, то надежность вывода относительно справедливости принятой рассматриваемой гипотезы будет иметь весьма ориентировочный характер.
Степень риска плавания кораблей в различных условия различна. Поэтому вероятность навигационных происшествий целесообразно определять отдельно для плавания в прибрежной зоне, в узкостях, по фарватерам и путям установленного движения, в ночное и дневное время и в штормовых условиях.
Но в этом случае возникает проблема, связанная с незначительным объемом имеющихся статистических данных по плаванию и навигационным происшествиям в каждой из перечисленных градаций. Она может быть решена путем использования обобщенной статистики в масштабе всей страны, а иногда и в международном масштабе.
Если требуется знать вероятность плавания, безопасного от навигационных происшествий, то она вычисляется по формуле Р = 1 – Q.
Статистический прогноз вероятности
навигационного происшествия
При статистическом анализе навигационных происшествий (аварийных случаев) важно выявить их тенденцию.
Систематическое (не случайное) изменение количества навигационных происшествий от одного периода наблюдений к другому (например, от года к году) можно выявить с помощью статистического критерия Аббе (см., например, [6, 12]). Этот критерий представляет собой отношение:
(2.9.8)
где Qi+1 и Qi – вероятности навигационных происшествий, определенные за два последовательных периода; Q – вероятность навигационного происшествия, вычисленная по формуле (2.9.4) на основе объединения данных за k периодов наблюдений.
При плавном систематическом изменении вероятности Q последовательные разности (Qi+1 – Qi), обусловленные только их случайными колебаниями, будут существенно меньше их отклонений от величины Q, так как в них, кроме случайных колебаний входит амплитуда колебания величины Q. Таким образом, знаменатель критерия Аббе оказывается более чувствительным к смещению величины Q, чем числитель, и поэтому отношение А может служить критерием систематического смещения вероятности навигационного происшествия Q.
Нулевая гипотеза состоит в том, что непрерывное систематическое смещение вероятности Q отсутствует, а колебания вероятностей от периода к периоду носят случайный характер.
Для ее проверки вычисленное отношение А сравнивается с его критическим значением АР, соответствующим заданной вероятности Р.
Если А < АР, то гипотеза отвергается – вероятность навигационного происшествия от периода к периоду (от года к году) изменяется неслучайно, существенно. Следовательно, график величины Qi содержит тренд, то есть систематический сдвиг.
Если А > АР, то полученные данные не противоречат выдвинутой гипотезе – систематическое смещение вероятности Q отсутствует (с достоверностью Р). Вероятность навигационных происшествий от периода к периоду (от года к году) остается прежней, а отличие вероятности Qi в i + 1 период от ее значения в i периоде обусловлено случайными факторами.
Критические значения отношения АР приведены в табл. 2.9.3.
Т а б л и ц а 2.9.3
| P | k | |||||||
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 15 | |
| 0,95 0,99 0,999 | 0,39 0,31 0,21 | 0,41 0,27 0,21 | 0,44 0,28 0,18 | 0,47 0,31 0,18 | 0,49 0,33 0,20 | 0,51 0,35 0,22 | 0,53 0,38 0,24 | 0,60 0,46 0,33 |
При наличии тренда (систематического изменения вероятности Q) определяется закон изменения вероятности навигационных происшествий от года к году (от периода к периоду). Этот закон необходим для прогнозирования вероятности навигационных происшествий.
Чтобы определить закономерность изменения вероятностей, строится график Qi = f (T), вид которого изображен на рис. 2.9.1.В большинстве случаев график аппроксимируется прямой линией Qi= = a + bT (на рисунке – пунктирная линия).
При k > 5 параметры a и b этой прямой определяются методом наименьших квадратов по формулам:
(2.9.9)
Суммирование в этих формулах производится по всем значениям i от единицы до k.
Прогноз вероятности навигационного происшествия производится способом экстраполяции аппроксимирующей прямой. Средняя квадратическая погрешность прогноза вероятности рассчитывается по формуле
(2.9.10)
где Qoi – сглаженное значение вероятности навигационного происшествия, соответствующее i периоду.
При k < 5 аппроксимирующая прямая проводится приближенно, на глаз. Формула (2.9.10) для оценки точности прогноза в этом случае оказывается очень ненадежной.
Статистика навигационных происшествий позволяет произвести прогноз не только вероятности навигационного происшествия, но и вероятности количества происшествий n. Поскольку навигационное происшествие является событием редким, то случайность их появления характеризуется законом Пуассона.
Согласно этому закону вероятность появления заданного количества событий описывается выражением [9]:
(2.9.11)
где r – заданное количество навигационных происшествий; no – оценка математического ожидания ежегодного количества навигационных происшествий, равная среднему арифметическому количеству происшествий за один год (или за другой принятый период):
(2.9.12)
Для применения закона (2.9.11) необходимы данные о навигационных происшествиях за несколько лет (k = 5 … 10). При этом общее количество плавающих судов в течение года должно быть примерно одинаковым.
Критерием возможности использования закона Пуассона для прогнозирования навигационных происшествий является приближенное равенство no » D (n), где D (n) – дисперсия количества навигационных происшествий, случившихся за год. Проще всего она вычисляется по формуле размаха (см. главу 1):
(2.9.13)
где nmax и nmin – экстремальные значения количества ежегодных навигационных происшествий.
Пример.
Ежегодная статистика навигационных происшествий в данном объединении представлена следующими данными:
| Порядковый номер года | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Количество навигационных происшествий n | 2 | 1 | 3 | 0 | 1 | 2 | 4 | 1 | 0 | 2 |
Определить вероятность Ро того, что в одиннадцатом (по порядковому счету) году не произойдет ни одного навигационного происшествия, и вероятность Р1 появления одного навигационного происшествия.
Р е ш е н и е:
– по формуле (2.9.12) рассчитывается среднее арифметическое значение навигационных происшествий в каждом году no = 1,6;
– по формуле (2.9.13) вычисляется дисперсия ежегодного количества происшествий D (n) = 1,6 и по сравнению полученных величин no и D (n) (в данном случае эти величины совпали) делается вывод о возможности использования закона распределения Пуассона;
– по формуле (2.9.11) вычисляются искомые вероятности Ро = 0,20, Р1 = 0,32.
Достоинством статистического метода оценки навигационной безопасности плавания является его объективность, связанная с тем, что его показатели опираются на фактические данные о количестве случившихся навигационных происшествий. Этот метод позволяет анализировать состояние безопасности мореплавания в различных условиях и на этой основе совершенствовать навигационно-гидрографическое обеспечение кораблевождения.
Накопление и обобщение статистических данных о навигационных происшествиях производится в штабах объединений и соединений кораблей, а также в вышестоящих флотских штабах.
К недостаткам статистического метода следует отнести его низкую оперативность, связанную с необходимостью накопления достаточно большого объема статистических данных о случившихся навигационных происшествиях. Учитывая, что навигационные происшествия – не система, а случаи, то сбор необходимой для анализа статистической информации производится, как правило, в течение нескольких лет.
Другой недостаток статистического метода состоит в том, что статистика навигационных происшествий учитывает их количество в тех или иных условиях плавания, но при этом она не соотнесена к фиксированным параметрам кораблевождения и поэтому исключает возможность глубокого структурного анализа происшествий с учетом конкретных факторов, обусловивших происшествие на том или ином корабле.
2.10. Статистический прогноз столкновений кораблей
Количественная оценка степени напряженности мореплавания в заданных районах с интенсивным судоходством – при подходах к портам, к проливам и каналам, а также определения вероятности столкновения судов в таких районах является серьезной и важной научной и практической проблемой. В работах [46, 50] изложен один из возможных подходов к решению этой проблемы.
В них показано, что ожидаемое количество столкновений кораблей и судов на одном участке маршрута (при подходе к порту) с заданной площадью S (кв.км) за заданный интервал времени t (ч) вычисляется следующим образом.
При встречном движении:
(2.10.1)
где Vo – относительная скорость при встречном движении (относительная скорость сближения кораблей), км/ч; Dв – область столкновения кораблей, отнесенная к длине маршрута при подходе к порту. Ее осредненное значение для районов, прилегающих к портам ориентировочно равно Dв = 2,1 × 10–6, 1/км; r – плотность потока кораблей – количество кораблей No, находящихся одновременно на подходном маршруте, отнесенное к единице площади подходного маршрута Sо:
r = No / Sо.
При обгоне (при попутном движении):
(2.10.2)
где V'o – относительная скорость кораблей при обгоне, км/ч; Dп – область столкновения кораблей, отнесенная к длине маршрута при подходе к порту. Ее осредненное значение для районов, прилегающих к портам ориентировочно равно Dп = 5,6 × 10–6, 1/км.
Вероятности столкновения кораблей при встречном и попутном движениях (при обгоне) вычисляются по формулам:
(2.10.3)
где Ns – количество кораблей и судов, движущихся на заданном участке маршрута в течение заданного времени t.
Если корабль следует в полосе двухстороннего движения, то вероятность столкновения вычисляется на основе применения теорем сложения и умножения вероятностей (вероятность столкновения или со встречным кораблем, или с попутным при условии, что столкновение сразу с двумя кораблями – событие недостоверное):
(2.10.4)
Изложенный метод следует расценивать как сугубо приближенный.
Он, как правило, дает неоправданно оптимистический результат, так как не учитывает важного фактора, влияющего на столкновения кораблей, – правильность выбора маневра для расхождения одновременно с несколькими встречными кораблями и своевременность его реализации.
Следует заметить, что формула (2.10.4) может быть использована и при априорных расчетах вероятности столкновения. В этом случае QB = 1 – Pу, QП = 1 – P'у и поэтому
Q = (1 – Pу)P'у + (1 – P'у)Pу. (2.10.5)
Вероятности Pу и P'у определяются по формулам (2.1.8).
Добавить комментарий